Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M₀(x₀; у₀; z₀) и вектором = (А; В; С), перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем н а ней произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор = (х – х₀;у—y₀;z- z₀). При любом расположении точки М на плоскости Q векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: · = 0, т. е.

А(х - х₀) + В(у - у₀) + C(z - z₀) = 0. (12.3)

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворя­ют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них · ≠ 0).

Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходя­щей через данную точку M₀(x₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору = (А; В; С). Оно первой степени относительно текущих координат х, у и z. Вектор = (А; В; С) называется нормальным вектором плоско­сти.

Рис. 69.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные зна­чения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку M₀. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, на­зывается связкой плоскостей, а уравнение (12.3) — уравнением связки плоскостей.

Дата добавления: 2015-06-28