Уравнения линии в пространстве

Поверхность и ее уравнение

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О₁ есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О₁ на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел х, у и z — их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называ­ются текущими координатами точек поверхности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M₁(x₁;y₁;z₁) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки М₁ в уравнение поверхности вместо пере­менных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не лежит.

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, об­щих двум поверхностям.

Если F₁(x;y.z) = 0 и F₂(x;y;z) = 0 — уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:

Уравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в пространстве. Например, есть уравнения оси Ох.

Рис. 66. Рис. 67.

Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движе­ния точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным уравнением

(12.2)

или параметрическими уравнениями ,

проекций вектора (12.2) на оси коорди­нат.

Например, параметрические уравне­ния винтовой линии имеют вид

Если точка М равномерно движет­ся по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается во­круг оси, то точка М описывает винто­вую линию (см. рис. 68).

Рис. 68.

Уравнения плоскости в пространстве

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в простран­стве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответству­ет определенный вид ее уравнения.

Дата добавления: 2015-06-28