Общие уравнения прямой

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки M₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂). В качестве направляющего вектора можно взять вектор = (х₂ – х₁;у₂ – y₁,z₂ – z₁), т.е. = (см. рис. 76). Следовательно, т = х₂ – х₁, п = у₂ — у₁, р = z₂ — z₁. Поскольку прямая проходит через точ­ку M₁(x₁;y₁;z₁), то, согласно уравнениям (12.13), уравнения прямой L имеют вид

(12.14)

Уравнения (12.14) называются уравнениями прямой, проходящей че­рез две данные точки.

Рис. 76.

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений

(12.15)

Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов = (A₁;B₁;C₁) и = (А₂;В₂;С₂) непропорциональны), то система (12.15) определяет прямую L как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетво­ряют каждому из уравнений системы (см. рис. 77). Уравне­ния (12.15) называют общими уравнениями прямой.

Рис. 77.

От общих уравнений (12.15) можно перейти к канониче­ским уравнениям (12.13). Координаты точки М₀ на прямой L получаем из системы уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значение (например, z = 0). Так как прямая L перпендикулярна векторам и , то за направля­ющий вектор прямой L можно принять векторное произведение x

Замечание: Канонические уравнения прямой легко получить, взяв две какие-либо точки на ней и применив уравнения (12.14).

Пример 12.1. Написать канонические уравнения прямой L, заданной уравнениями

Решение: Положим z = 0 и решим систему . Находим точку M ₁ (-2; 1;0) L. Положим у = 0 и решим систему

Находим вторую точку М₂ (2;0;3) прямой L. Записываем уравнение пря­мой L, проходящей через точки М₁ и М₂:

Прямая линия в пространстве. Основные задачи

Дата добавления: 2015-06-28