Лабораторная работа №9 оценка качества конфет «зефир»

Рис. 1. Таблица исходных аргументов

В предыдущей лабораторной работе методом наименьших квадратов было построено уравнение множественной линейной регрессии, причем, точность построенной гиперплоскости оказалась удовлетворительной. В приведенной ниже задаче предварительно также была проведена попытка построения линейной модели, однако из-за ее недостаточной точности пришлось составлять нелинейную полиномиальную модель.

Задача состояла в том, чтобы на основании измерений пяти факторов: количества белка, количества сахара, температуры производства, кислотности и времени сбивания оценить пенообразующую способность конфет «Зефир».

Все исходные данные помещены в приведенной на рис1. таблице 1. На рисунке приводится часть этой таблицы. Полная таблица содержит 145 строк, что соответствует 145 опытам. В каждом опыте для определенного образца зефира определялись количество белка (столбец 0), количество сахара (столбец 1), температура эксперимента в градусах Цельсия (столбец 2), кислотность (столбец 3) и время сбивания (столбец 4). Для просмотра не показанных на рисунке 1 частей таблицы предусмотрены не показанные на рисунке полосы прокрутки.

На рис.2. приведена соответствующая этим факторам поверхность отклика – значения пенообразующей способности конфет «зефир».

Рис. 2. Таблица пенообразующей способности конфет «зефир»

Вся таблица также состоит из 145 строк, причем каждая строка этой таблицы соответствует той же строке таблицы 1.

Введенные данные необходимо, прежде всего, исследовать на наличие в них грубых ошибок измерения – выбросов. Как известно, для нормально распределенных случайных величин выбросом считается измерение х, выходящее за пределы M-3s< x<M+3s, где М- математическое ожидание (среднее арифметическое) измерения, а s- его среднеквадратическое отклонение.

В Маткаде среднее арифметическое вычисляется встроенной функцией mean, а среднеквадратическое отклонение – встроенной функцией stdev.

Поэтому для выявления выбросов были вычислены функции

r1= (M+3s - значение показателя) и r2= Значение показателя –(M-3s)

для всех учитываемых показателей. По результатам вычислений выбросов в анализируемых данных не обнаружено.

Теперь необходимо разделить весь отобранный экспериментальный материал на опорную и контрольную части. Используя опорные эксперименты, мы сформируем гиперповерхность, проходящую как можно ближе к этим опорным точкам. Но ведь задача состоит в том, чтобы дать объективную оценку качества для любого нового образца зефира. Контрольные эксперименты будут играть роль именно этих новых образцов.

Отведем для контрольной части одиннадцать опытов из 145.Номера экспериментов контрольной части для большей объективности будем выбирать случайным образом. Этот выбор показан на программе рис.3..

Рис.3.Программа отбора контрольных экспериментов.

В Маткаде встроенная функция rnd(x) - псевдослучайное равномерно распределенное число в пределах от нуля до х (в нашем случае – до 145). Так как у нас число экспериментов равно 145, то вместо х в функцию следует вставить это число. Однако псевдослучайное число может оказаться дробным, а номер опыта должен быть целым. Поэтому из вызванного псевдослучайного числа функцией floor выделяется целая часть.

Результатом выполнения программы является вектор u, приведенный на рис 3. Для удобства анализа этот вектор «сортируется» функцией csort. «Отсортированный» вектор U также приведен на рисунке.

Следует иметь в виду, что при каждой реализации вектор U будет меняться, что позволяет легко и грамотно набирать статистику.

После определения номеров контрольных экспериментов необходимо отделить от них опорную часть. Это было сделано с помощью специальной вспомогательной программы

В результате была сформированы новые таблицы для опорных данных с именем М1, для контрольных исходных данных с именем М2, и таблицы для опорных и контрольных функций отклика с именем POS1 для опорной и POSK для контрольной частей функций.

Части полученных матриц опорных точек приведены на рис.4.В нулевых столбцах матриц расположены номера опорных экспериментов.

Рис.4. Части матриц опорных точек аргументов и функций.

В каждую ячейку обеих матриц М2 и POSK вводится элемент № U, где U – элемент вектора номеров контрольных точек. В нулевой столбец обоих матриц вводится сам № U. В нулевом столбце обеих матриц расположены номера контрольных экспериментов.

Рис.5. Части матриц контрольных точек.

После составления матриц М1, М2, POS1, POSK можно приступать непосредственно к решению задачи оптимальной аппроксимации функций какой-либо гиперповерхностью. Для решения задач методом наименьших квадратов необходимо заранее задаться видом искомой функции. Мы выберем степенную функцию всех рассматриваемых аргументов вида

(1)

где все коэффициенты b_i, i=1,2,…,16 подбираются компьютером методом наименьших квадратов.

Мы рассматриваем нашу оценку функций М и POS как функцию пяти переменных – аргументов, от значения которых зависит качество конфет «зефир». Поэтому мы используем для оценки коэффициентов искомой функции встроенную функцию minerr, применяемую в блоке решений given.

На рис 6. приведено «обучение», т.е. подбор коэффициентов для поверхности функции «Пенообразующая способность».

Так как задача решается численно, то сначала, вне блока GIVEN задаются начальные значения искомых коэффициентов. Мы задаем их равными единице.

Затем в решающем блоке GIVEN набирается и приравнивается нулю сумма квадратов разностей между искомым аналитическим выражением для функции ПОС и экспериментальными значениями этой функции.

Рис.6. Подбор коэффициентов для аппроксимации функции ПОС методом наименьших квадратов.

Выражение означает, что выбирается i-ая строка j –го столбца матрицы М.

После этого набирается встроенная функция minerr (minimum error – минимум ошибки).

Запись

Говорит о том что вектор коэффициентов В будет подобран так, чтобы сумма квадратов разностей

Была как можно ближе к нулю.

На рис.6.показаны значения подобранных компьютером коэффициентов.

Дата добавления: 2015-06-27