Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Асимптоты графика функции


Волгодонск

Конспект лекции №6

по теме:

«Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции»

 
 


 

Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по графику функции от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные, наклонные.

 

Вертикальной асимптотой называется прямая x=a, если .

Находят вертикальную асимптоту по точкам разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

 

Наклонной асимптотой называется асимптота, уравнение которой имеет вид: .

Оказывается, что если является асимптотой, то и в уравнении определяются следующим образом , .

Доказательство:

 


По определению асимптоты: если ОМ , то |MN|0.

Þ |MQ|→0 при x→±∞, т.к. .

По чертежу: .

 

Перейдем к пределу при x→±∞:

 

(*)

Þ .

.

Из (*) Þ .

Ч.т.д.

Замечание 1: Чтобы у кривой были наклонные асимптоты, нужно, чтобы соответствующие пределы в определении k и b были конечными, причем предел при x→+∞ и предел при x→-∞ нужно вычислять отдельно.

Замечание 2: Если k=0, то y=b. Наклонная асимптота в этом случае называется горизонтальной.

Замечание 3: Кривая никогда не пересекает вертикальную асимптоту, а горизонтальные и наклонные асимптоты кривая может пересекать и даже бесконечное число раз.

Пример: Найти асимптоты графика функции .

D(y): x¹3.

Þ x=3 – точка разрыва.

— вертикальная асимптота.

=;

== ==3 Þ .

 

Þ — наклонная асимптота.

 

Схема полного исследования функции.

 

1. Определить естественную область D(y) определения функции.

2. Исследовать на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти асимптоты.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.

6. Найти интервалы выпуклости графика, точки перегиба.

7. Построить график функции.

Пример:

Провести полное исследование и построить график функции .

1. Область определения функции D(y): x¹1.

2. Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с 0x: y=0 Þ Þ x=0 Þ точка (0, 0) – точка пересечения с осями.

4. x=1 – точка разрыва.

Вертикальная асимптота:

— вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота: .

=;

===1 Þ .

— наклонная асимптота.

5. ==.

Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ , ;



– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .

 

x (-∞;0) x=0 (0;1) x=1 (1;2) x=2 (2;+∞)
+ не существует +
возрастает max y(0)=0 убывает не существует убывает min y(2)=4 возрастает

6.

.

Критические точки второго рода:

, т.е. числитель равен нулю Þ точек нет;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ Þ точек перегиба нет, т.к. x=1ÏD(y).

 

x (-∞;1) x=1 (1;+∞)
не существует +
вогнута не существует выпукла

 

7. График функции:

 

 

Вопросы для самоконтроля.

 

1. Что такое асимптота?

2. Какая асимптота называется вертикальной?

3. Написать уравнение наклонной асимптоты.

4. Когда наклонная асимптота называется горизонтальной?

 

 

Задачи для самоконтроля.

 

1. Провести полное исследование функции и построить ее график:

а) ; б) .

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Target Plan. 1. Historical background of the Ukrainian higher schools; the higher teachers’ training school in Ukraine before the October coup | Решение типовых задач

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1114; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.007 сек.