Решение типовых задач

1. Провести полное исследование и построить график функции:

а) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осью OY: x=0 Þ y=0. Точка (0;0).

Точки пересечения с осью OX: y=0 Þ ,

, (D<0).

Þ точка (0;0) – точка пересечения с осями.

4. Асимптот нет, т.к. D(y)=R.

5. .

Критические точки: . , Þ , .

x	(-∞;2)	x=2	(2;3)	x=3	(3;+∞)
	+		−		+
	возрастает	max y(2)=28	убывает	min y(3)=27	возрастает

6. .

Критические точки второго рода: . , .

x	(-∞;2,5)	x=2,5	(2,5;+∞)
	−		+
	вогнута	y(2,5)=27,5	выпукла

7. График функции.

б) .

1. Область определения функции D(y): x¹0.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осью OY: x¹0 Þ ось OY не пересекает.

Точки пересечения с осью OX: y=0 Þ числитель равен нулю: , . Þ Точка .

4. x=0 – точка разрыва.

Вертикальная асимптота:

— вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота: .

;

. Þ .

— горизонтальная асимптота.

5. ;

.

Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ ;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .

x	(-∞;0)	x=0	(0;1)	x=1	(1;+∞)
y´	+	не существует	+		−
y	возрастает	не существует	возрастает	max y(1)=1	убывает

6. ;

.

Критические точки второго рода:

, т.е. числитель равен нулю Þ ,;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .

x	(-∞;0)	x=0
y´´	+	не существует	−		+
y	выпукла	не существует	вогнута	точка перегиба	выпукла

7. График функции.

Дата добавления: 2014-01-03