Расчет замкнутых резервуаров, нагруженных равномерным внутренним давлением

Функция в случае, приведенном на рис.7.9 определяется по зависимости (25).

Рис. 7.9

Учитывая, что, и используя уравнения (23) и (24), меридиональная и окружная силы определяются зависимостями:

Формулы (27) и (28) справедливы для любой формы резервуара при условии, что меридиональное сечение имеет односвязный контур (рис. 7.9).

Для цилиндрического резервуара и. Следовательно,

Формулы (29) известны под названием «котельных» формул или формул Мариотта. Их применяют для вычисления напряжений в цилиндрических котлах, сосудах и тонкостенных трубах, находящихся под действием внутреннего давления.

Для сферического резервуара, усилия и напряжения соответственно равны

Из формул (29) и (30) видно, что при одинаковом давлении, диаметрах и толщине максимальное нормальное напряжение в сферической оболочке будет в 2 раза меньше, чем в цилиндрической.

Следует обратить внимание на то, что при правая часть равенства (28) становится отрицательной и, следовательно, окружная сила будет сжимающей. Это обстоятельство необходимо иметь в виду, так как при действии сжимающих напряжений может произойти потеря устойчивости первоначальной формы и на оболочке могут образоваться складки.

На основании изложенного можно заключить, что с точки зрения экономичности наиболее целесообразной формой резервуаров, работающих под действием внутреннего давления, будет сферическая форма.

Однако по технологическим соображениям резервуары часто делают цилиндрической формы с днищами. Наиболее часто применяют следующие формы днищ: сферическое (рис. 7.10,а); эллиптическое, имеющее форму эллипсоида вращения (рис. 7.10,б); коробовое, состоящее из части сферы и части тора (рис. 7.10,в). Усилия и напряжения в цилиндрической части резервуара не зависят от формы днища и определяются по формулам (29). В сферическом днище усилия и имеют одинаковые значения:

Практикой установлено, что оптимальное значение отношения высоты днища к радиусу цилиндра приблизительно равно 0,5. При указанном отношении радиус сферы должен быть равен и угол наклона нормали на краю днища. В этом случае эпюры усилий и имеют вид, показанный на рис. 7.10, а. Отделив сферическое днище от цилиндрической части резервуара, можно увидеть, что на цилиндр передается сила, имеющая большую радиальную составляющую, которая вызывает изгиб стенки. Чтобы уменьшить этот изгиб и получить напряженное состояние, более близкое к безмоментному, необходимо на краю цилиндра установить достаточно мощное кольцо, которое воспринимало бы радиальную составляющую силы (на рис. 7.10, а поперечное сечение кольца показано штриховой линией).

При отсутствии такого кольца в зоне сопряжения цилиндра и днища возникнут значительные напряжения изгиба. Однако, если материал резервуара пластичный, а давление постоянно во времени, то напряжения изгиба не представляют опасности, так как с ростом давления в зоне изгиба возникают местные пластические деформации и рост напряжений замедляется. В то же время в цилиндрической части резервуара напряжения растяжения продолжают увеличиваться пропорционально давлению вплоть до разрушения. Разрушение такого резервуара происходит на некотором расстоянии от днища. Изгибные напряжения могут стать причиной разрушения при действии пульсирующего давления (усталостное разрушение) или при постоянном давлении в условиях низких температур (хрупкое разрушение). Для хрупкого материала изгибные напряжения могут быть причиной разрушения и при статическом нагружении в условиях нормальной температуры.

Определим напряжения в эллиптическом днище. Полуоси эллипса равны соответственно и (см. рис. 7.10,б). Радиусы кривизны эллипсоида в произвольной точке определяются формулами:

где – угол между нормалью и осью вращения;

– радиус кривизны в вершине (при);

– параметр, определяющий форму эллипса.

При подстановке значений радиусов (31) зависимости (27) и (28) принимают вид

Эпюры усилий и, построенные при значении отношения (), приведены на рис. 7.10, б.

Преимуществом эллиптического днища является то, что радиальная составляющая силы в месте перехода от днища к цилиндру равна нулю.

Однако изгиб стенки в зоне сопряжения здесь полностью не исключается. Действительно, ввиду того, что окружное усилие в месте сопряжения днища и цилиндра изменяется разрывно от до, значения окружной деформации, и радиального перемещения также имеют разрыв. В действительности же и – функции непрерывные. Поэтому в зоне сопряжения к безмоментному состоянию добавится изгиб стенки. Этот изгиб будет, однако, значительно слабее, чем при сферическом днище.

Определим напряжения в коробовом днище (см. рис. 7.10, в). Введем обозначения: R – радиус кривизны сферической части днища, – радиус тороидального закругления; – угол наклона нормали на границе между сферической и тороидальной частью днища.

Для обеспечения плавного перехода от сферической части к тороидальной необходимо соблюдение следующих равенств:

Если заданы размеры, а также отношение, то из указанных равенств нетрудно найти и.

Так, например, при и

Очевидно, что при одном и том же значении отношения можно подобрать несколько различных форм коробового днища с различными значениями радиуса тороидальной части. Обычно принимают.

В произвольной точке тороидальной части днища радиусы кривизны соответственно равны

и внутренние усилия

В пределах сферической части

Эпюры и построенные при;;, приведены на рис, 7.10, в.

Коробовое днище, так же как и эллиптическое, не передает на цилиндр радиальной нагрузки. Преимуществом этого днища по сравнению с эллиптическим является более простая форма меридиана. В переходных точках коробового днища окружное усилие имеет разрывы, следовательно, в зонах сопряжения участков возникает изгиб стенки и действительные значения усилий будут несколько иные. Более точные значения усилий могут быть найдены по моментной теории оболочек.

Из сказанного, однако, не следует, что расчет по безмоментной теории бесполезен, так как, во-первых, этот расчет входит как составная часть в расчет по моментной теории; во-вторых, растягивающие напряжения в сферической и цилиндрической частях резервуара, найденные по безмоментной теории, достаточно хорошо характеризуют фактическую прочность резервуара (в случае пластичного материала). Что же касается высоких сжимающих напряжений в тороидальной части днища, то в действительности эти напряжения значительно меньше вычисленных по безмоментной теории вследствие влияния деформации изгиба.

Остановимся на вопросе определения перемещений в осесимметричных оболочках вращения.

Если внутренние усилия и уже найдены, то система уравнений перемещений (18) и (19) может быть решена относительно и. В осесимметричных оболочках, однако, более удобно рассматривать перемещения и в радиальном и в осевом направлениях (рис. 7.11). Выразим эти перемещения через относительные удлинения срединной поверхности.

Относительное удлинение в окружном направлении кольцевого волокна, проходящего через точку:

Отсюда радиальное перемещение

Для определения относительной деформации в меридиональном направлении рассмотрим замкнутый многоугольник. Возьмем сумму проекций его звеньев на касательную к меридиану

Отсюда определяется приращение длины отрезка:

и меридиональная деформация

Зависимости (34) и (36) можно получить также из уравнений (18) и (19), если воспользоваться соотношениями, связывающими перемещения и с перемещениями и:

Осевое перемещение определим по уравнению (36):

или

Подставив под знак интеграла выражение (35) и применив формулу интегрирования по частям, можно представить уравнение (37) также в следующем виде:

где или – координата края, принятого за начало отсчета.

Получим еще выражение угла поворота нормали. Для этого приравняем нулю сумму проекций звеньев многоугольника на направление нормали к поверхности

Отсюда, пренебрегая малой по сравнению с единицей величиной,

или с учетом равенства (36):

Угол можно выразить также через перемещения и:

Пример 1. Крышка цилиндра сферической формы находится под действием внутреннего давления (рис.7.12). Диаметр цилиндра; радиус сферической поверхности (срединной); допускаемое напряжение. Определить требуемую толщину крышки.

Рис. 7.12

Усилия в сферической оболочке при действии равномерного внутреннего давления, согласно формуле (30):

и напряжения

Эквивалентное напряжение по гипотезе прочности наибольших касательных напряжений

Приравняв эквивалентное напряжение допускаемому, найдем искомую толщину

.

В месте сопряжения сферической части крышки с фланцем возникает изгиб стенки вследствие несоответствия окружных деформаций края оболочки и фланца. При пластическом материале при статическом нагружении этот изгиб не имеет существенного значения и его можно не учитывать.

Пример 2. Определить напряжения и перемещения точек срединной поверхности оболочки, имеющей форму полусферы. Оболочка подвешена за верхний край и заполнена жидкостью с плотностью (рис.7.13).

Рис. 7.13

Рассмотрим часть оболочки, отсеченную по окружности, проходящей через произвольную точку. На отсеченную часть действует вес жидкости в объеме сегмента

и сила давления выше расположенных слоев жидкости

где – давление жидкости; – радиус окружности сечения.

Сложив эти две силы и разделив на, получим функцию:

Далее по формулам (23) и (24) определим усилия

Для обеспечения безмоментного состояния необходимо, чтобы верхний край полусферы мог свободно перемещаться в радиальном направлении.

Вычислим изменение радиуса окружности верхнего края и изменение высоты полусферы. Предварительно определим относительные удлинения в меридиональном и окружном направлениях в произвольной точке. По формулам обобщенного закона Гука

Подставив значение в равенство (34), найдем радиальное перемещение в произвольной точке

Изменение радиуса, окружности верхнего края

Для определения осевого перемещения воспользуемся зависимостью (37), продифференцируем по:

и подставим и под знак интеграла (37). После несложных преобразований интеграл принимает вид

Выполнив интегрирование и приняв, придем к следующему выражению для осевого перемещения произвольной точки относительно верхнего края:

При это выражение дает изменение высоты полусферы

Знак плюс указывает на то, что высота полусферы увеличивается.

Пример 3. Исследовать напряженное состояние в куполе, находящемся под действием сил собственного веса (рис. 7.14). Рассмотреть различные варианты формы купола (сфера, параболоид, эллипсоид).

Рис. 7.14

Интенсивность поверхностной нагрузки разложим на нормальную и касательную составляющие:

Вычислим вес части купола, отсеченной по окружности текущего радиуса:

где,,, – текущие значения величин в интервале от до.

Разделив вес на, получим функцию, по которой определяется меридиональное усилие:

По меридиональному усилию на основании уравнения Лапласа (15) найдем окружное усилие

Для вычисления усилий и необходимо знать зависимость радиусов и от угла. Эта зависимость для всех указанных форм купола может быть выражена формулами (31), в которых параметр зависит от вида поверхности купола. При формулы (31) дают значения радиусов кривизны поверхности сферы; при – поверхности параболоида; при – поверхности эллипсоида; при – поверхности гиперболоида. Для эллипсоида параметр связан с отношением полуосей соотношением

Значения усилий и, вычисленные для четырех вариантов купола, указаны на рис. 7.15. Отношение высоты к наружному радиусу для всех четырех вариантов принято равным. На том же рисунке указаны значения горизонтальной составляющей меридиональной силы на краю купола (т.е. силы распора).

Недостатком первого и второго варианта (см. рис. 7.15, а и б) купола является большая сила распора, для восприятия которой требуется мощное опорное кольцо. Во втором варианте, кроме того, окружная сила на краю оболочки – отрицательна, а окружная деформация близка к нулю, в то время как окружная деформация опорного кольца положительна. Следовательно, во втором варианте безмоментное состояние около края не возможно ни при каком сечении опорного кольца.

В третьем варианте (см. рис. 7.15, в) сила распора равна нулю и поэтому опорное кольцо не требуется. Недостатком третьего варианта является то, что окружная сила на краю купола достигает больших положительных значений, поэтому край купола в этом варианте необходимо утолстить.

В четвертом варианте (см. рис. 7.15, г) распорная сила не очень велика; в то же время окружная сила – положительна. Следовательно, подобрав должным образом сечение опорного кольца, можно добиться равенства окружных деформаций края оболочки и кольца и получить напряженное состояние, близкое к безмоментному.

Это позволяет сделать заключение, что из четырех рассмотренных вариантов последний имеет преимущество, хотя возможно, что он также не является оптимальным.

Рис. 7.15

Дата добавления: 2014-01-03