Общие и частные решения рекуррентных соотношений

Общим решением рекуррентного соотношения (1) называется множество всех последовательностей, удовлетворяющих этому соотношению.

Частным решением соотношения (1) называется одна из последовательностей, удовлетворяющих этому соотношению.

Пример 1¢. Последовательность a_n=a₀+nd является общим решением соотношения a_n=a_n_-₁+d. Это – формула общего члена арифметической прогрессии с разностью d и с начальным членом прогрессии a₀.

Пример 2¢. Последовательность b_n=b₀×qⁿ является общим решением соотношения b_n=b_n_-₁×q. Это – формула общего члена геометрической прогрессии со знаменателем q¹0 и с начальным членом прогрессии b₀.

Пример 3¢. Так называемая формула Бине j_n=является частным решением соотношения j_n=j_n_-₂+j_n_-₁ при j₀=j₁=1.

3. Линейные рекуррентные соотношения. Соотношение вида

a_n₊_k+p₁a_n₊_k_-₁+…+p_ka_n=h(n) (2)

где h(n) – функция от числа , а , называется линейным рекуррентным соотношением.

Линейное рекуррентное соотношение называют однородным, если f(n)=0:

a_n₊_k+p₁a_n₊_k_-₁+…+p_ka_n=0. (3)

Многочлен x^k+p₁x^k^-¹+…+p_k_-₁x+p_k называется характеристическим для соотношения (2).

Корень a многочлена называется простым, если делится на , но не делится на .

Корень a многочлена называется кратным, если делится на , но не делится на , .

При этом число называется кратностью корня .

Основная теорема алгебры: многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет комплексных корней с учетом их кратности.

Теорема 1. Пусть характеристический многочлен однородного линейного рекуррентного соотношения (3) имеет n простых корней a₁, …, a_n. Тогда общее решение рекуррентного соотношения (3) имеет следующий вид:

, (4)

где c₁,…,c_kÎC.

Доказательство. Легко проверить следующие два утверждения.

(a) Последовательность cxⁿ, где cÎC, является решением рекуррентного соотношения (3).

(b) Если последовательности a_n и b_n являются решениями соотношения (3), то последовательность a_n+b_n также является решением соотношения (3).

Из (a) и (b) следует, что любая последовательность вида (4) является решением соотношения (3).

Обратно, любое решение соотношения (3) имеет вид (4).

При n=0,1,…,k-1, из равенства (4) мы получим систему линейных уравнений относительно c₁,…,c_k:

(5)

Определитель системы (5) есть известный в алгебре определитель Вандермонда:

Так как простые корни x₁,…,x_k попарно различные, то D¹0. Значит, система (5) имеет (единственное) решение.

Задача 1. Найти общий член геометрической прогрессии по формуле (4).

Решение. Характеристический многочлен рекуррентного соотношения b_n=qb_n_-₁ имеет вид . Поэтому .

Задача 2. Найти общее решение соотношения Фибоначчи a_n₊₂=a_n+a_n₊₁.

Решение. Характеристический многочлен рекуррентного соотношения a_n₊₂=a_n+a_n₊₁ имеет вид . Поэтому .

Приведем без доказательства следующее обобщение теоремы 1.

Теорема 2. Пусть характеристический многочлен однородного линейного рекуррентного соотношения (3) имеет k корней: a₁ кратности , …, a_k кратности , , . Тогда общее решение рекуррентного соотношения (3) имеет следующий вид:

, (6)

где .

Задача 3. Найти общее решение соотношения .

Решение. Характеристический многочлен имеет корень 2 кратности 3. Поэтому .

Замечание. Общее решение неоднородного линейного соотношения (2) можно найти как сумму общего решения однородного линейного соотношения (3) и частного решения неоднородного линейного соотношения (2).