Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция № 14


Тема: плоские и планарные графы

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Двудольные графы

2. Плоские графы и плоские карты

3. Непланарность графов К3,3 и К5

Краткое содержание лекционного материала

1. Двудольные графы. Граф называется двудольным-графом, если множество вершин состоит из двух непустых частей , (, ), внутри которых нет ребер.

Если при этом все вершин из соединены со всеми вершинами из , то граф называется полным двудольным -графом и обозначается через .

Приведем полные двудольные графы с числом вершин не больше 4:

2. Плоские графы и плоские карты. Плоский граф – это граф, который нарисован на плоскости так, что никакие два его ребра не пересекаются.

Планарный граф – это граф, изоморфный плоскому графу.

 

 

На рисунке а) – планарный, но не плоский, граф, б) плоский граф.

Каждый плоский граф разбивает плоскость на грани: внутренние - ограниченные и внешнюю – неограниченную.

Изучение планарных графов было начато Эйлером в его исследованиях полиэдров. Следующая формула Эйлера – это классический результат в математике:

,

где – число вершин, – число ребер, – число граней полиэдра.

Формула Эйлера справедлива и в более общем случае для плоской карты – связного плоского графа, рассматриваемого вместе со всеми его гранями.

Теорема 1. Пусть плоская карта имеет вершин, ребер и граней. Тогда имеет место следующее равенство:

. (1)

Доказательство. Применим индукцию по числу ребер .

Если , то формула (1) примет следующий вид: .

Допустим, что для всех плоских карт с числом ребер не больше формула (1) верна. Плоская карта с числом ребер получается из плоской карты с числом ребер двумя способами:

1) прибавлением новой вершины , которая соединяется ребром с одной из старых вершин;

 

 

2) соединением ребром двух не смежных вершин.

 

 

В первом случае формула (1) проверяется следующим образом:

.

Во втором случае появляется новая грань и формула (1) проверяется следующим образом:

.

Следствие 1. Если в -карте каждая грань образована циклом из вершин, то

. (2)

Доказательство. Число ребер, принадлежащих каждой грани равно . Значит, число вершин, подсчитываемых при каждой грани, равно . При этом каждое ребро подсчитывается дважды, поэтому число пересчитываемых вершин равно . Получим равенство . Подставим в (1) и найдем (2).

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Лекция № 13 | Непланарность графа К3,3

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 195; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.