Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция № 15


Тема: Деревья. Остов графа

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Эквивалентные определения дерева.

2. Пример. Деревья с числом вершин не больше 5.

3. Остов графа. Поиск в ширину и в глубину.

Краткое содержание лекционного материала

1. Эквивалентные определения дерева. Дерево – это связный граф, в котором нет циклов. Следующая теорема показывает только меньшую часть возможных равносильных определений дерева.

Теорема 1. Пусть -граф. Тогда следующие условия эквивалентны:

() – дерево;

() любые две вершины в графе соединены единственной простой цепью;

() – связный граф и ;

() –граф без циклов и .

Доказательство. ()Þ(). Так как – связный граф, то любые две вершины и в графе соединены цепью, простой, поскольку еще –граф без циклов.

 

 

Если вершины и соединены двумя цепями, то получится цикл:

 

 

()Þ(). Непосредственно по условию граф связный. Доказываем равенство

(1)

индукцией по числу ребер (или вершин).

Уберем одно ребро между вершинами и . В силу единственности соединяющей цепи между вершинами и , граф распадается на два графа, удовлетворяющих условию ().

 

Если эти графы имеют по и вершин и по и ребер, то по индуктивному предположению для них выполняется равенство (1):

(2)

(3)

Сложив по частям (2) и (3), учитывая, что и , то получим равенство (1).

()Þ(). Допустим, что граф содержит цикл, можно считать, что простой цикл с вершинами и ребрами. Остальные вершин соединяются с этим циклом некоторым ребром, причем все такие ребра попарно различные.

 

 

Получается, что граф имеет число ребер , что противоречит (1).

()Þ(). В связной компоненте графа без циклов, мы, удаляя по одной крайней вершине и инцидентному ей ребру, на финише, в силу (1), получим одну вершину.

 

 

Если граф не связный, то он распадается на связные компоненты. Указанный выше процесс показывает, что тогда вершин будет больше ребер не на 1, а на . Значит, граф не может быть не связным.

2. Пример. Деревья с числом вершин не больше 5. Приведем все попарно неизоморфные деревья с числом вершин, не больше 5:

 

 

3. Остов графа. Поиск в ширину и в глубину. Остов графа – это подграф графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом.

Приведем пример графа и одного из его остовов:

 

 

Обходы всех вершин графа совершаются как обход некоторого его остова. Методами обхода графа являются поиск в глубину и поиск в ширину.

Алгоритм поиска в глубину: для каждой не пройденной вершины необходимо найти все не пройденные смежные вершины и повторить поиск для них.



Пример графа и поиска в глубину этого графа:

 

1-2-3-4-3-5-3-2-1-6-7-6-8-6-9-10-11-10-9-12-9-6-1.

 

Порядок поиска в ширину: началу обхода приписывается метка 0; вершинам, смежным с вершинами метки i, – метка i+1 (i=0,1,2,…). Затем нумеруем вершины: вначале вершины с меткой 0, затем с меткой 1 и т. д.

Пример графа и поиска в ширину этого графа:

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Непланарность графа К3,3 | Лекция № 16

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 218; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.