Действия над комплексами и комплексными амплитудами

Последовательность расчетов методом комплексных амплитуд

1. От заданных гармонических процессов a(t) в источниках переходят к их комплексам путем добавления мнимой части, т.е. осуществляют переход

2. От комплексов колебаний источников переходят к их комплексным амплитудам, исключая в записи комплексов оператор вращения, т.е.

3. По комплексным амплитудам колебаний источников по правилам алгебры комплексных чисел находят комплексные амплитуды гармонических реакций цепи, т.е.

.

При этом совершают такие действия над комплексными амплитудами, которые имеют те же наименования (или подобные) действиям, которые необходимо выполнять над самими отображаемыми комплексами гармоническими колебаниями по законам теории цепей.

4. Результаты вычислений,полученные в форме комплексных амплитуд, преобразуют в комплексы результатов путем домножения на оператор вращения:

5. От комплексов результатов переходят к мгновенным значениям результатов с помощью преобразования:

Иными словами, переход от комплекса к самому гармоническому колебанию делается формальной заменой

Основные усилия затрачиваются на выполнение пункта 3. Рассмотрим эти действия подробнее.

С применением метода комплексных амплитуд операции над мгновенными значениями гармонических процессов заменяют на одноименные операции над их комплексами и комплексными амплитудами.

При этом учитывают, что при замене гармонических процессов их комплексами:

1. Первая производная комплекса есть произведение дифференцируемого комплекса на мнимую частоту.

Комплексная амплитуда первой производной гармонического процесса равна произведению комплексной амплитуды этого процесса на мнимую частоту jw.

Доказательство:

что и требовалось доказать.

2. Интеграл комплекса есть отношение интегрируемого комплекса к мнимой частоте jw.

Комплексная амплитуда интеграла от гармонической функции равна отношению комплексной амплитуды этого процесса к мнимой частоте.

что и требовалось доказать.

3. При алгебраическом сложении гармонических колебаний их комплексные амплитуды складывают.

что и требовалось доказать.

Как видно из приведенных правил, с применением метода комплексных амплитуд системы линейных дифференциальных уравнений для мгновенных значений искомых гармонических процессов, составляемых по законам теории цепей, преобразуются в системы линейных алгебраических уравнений для комплексных амплитуд этих процессов.

Алгебраизация вычислений оказывается важным достоинством рассматриваемого метода, позволяющим упрощать вычисления. При этом, действия над функциями времени заменяются на равносильные операции над комплексными числами, что гораздо проще.

Дата добавления: 2014-01-03