Множество комплексных чисел

ЛЕКЦИЯ 1

1.1. Аксиоматическое построение множества комплексных чисел

Множество всех комплексных чисел обозначается символом С.

Комплексное число обозначается a + i ×b, где а и b – действительные числа, называемые соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа a + i×b, а символ i, определяемый условием i ² = –1, называется мнимой единицей. Действительную и мнимую части комплексного числа z = a + i×b обозначают Re z и Im z соответственно:

а = Re z, b = Im z.

Запись комплексного числа (к.ч.) z в виде a + i×b называют алгебраической формой записи к.ч.

Суммой комплексных чисел z₁ = a₁ + i×b₁ и z₂ = a₂ + i×b₂ называется к.ч. z, действительная часть которого равна сумме действительных частей чисел z₁ и z₂, а мнимая часть – сумме мнимых частей чисел z₁ и z₂, т. е.

z = z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i×(b₁ + b₂).

К.ч. –a – i×b называется противоположным к.ч. a + i×b и обозначается –z. Сумма к.ч. z и –z равна нулю (z+(–z) = 0).

Разность комплексных чисел z₁ = a₁ + i×b₁ и z₂ = a₂ + i×b₂ есть к.ч. z, являющееся суммой числа z₁ и числа, противоположного z₂:

z = z₁ + (–z₂) = (a₁ – a₂) + i×(b₁ – b₂).

т.е. к.ч., действительная и мнимая части которого равны соответственно разности действительных и мнимых частей уменьшаемого и вычитаемого. Разность может быть записана явно как z = z₁ – z₂.

Произведением комплексных чисел z₁ = a₁ + i×b₁ и z₂ = a₂ + i×b₂ называется к.ч. вычисляемое как

.

Частным двух комплексных чисел z₁ = a₁ + i×b₁ и z₂ = a₂ + i×b₂ (z₂ ¹ 0) называется такое к.ч. z, что z₁ = z × z₂, и вычисляется по формуле

.

Число называется модулем к.ч. z = a + i×b и обозначается |z|.

Комплексное число называется комплексно сопряженным с числом .

Дата добавления: 2014-01-03