Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

2.1. Геометрическое изображение комплексного числа

Комплексное число можно изображать точками плоскости (как координаты точек плоскости в прямоугольной системе координат xОу). Согласно методу координат, с каждой точкой А плоскости Оху можно связать вектор , выходящий из начала координат и оканчивающийся в точке А. Таким образом, к.число a + i×b допускает геометрическую интерпретацию как вектор с координатами (а; b) (рис. 3.1). Координаты вектора при этом будут такими же, как и координаты точки А, а именно (а; b).

2.2. Геометрическая интерпретация суммы и разности комплексных чисел

Геометрическая интерпретация к.ч. позволяет наглядно представить сумму и разность к. чисел. Пусть даны два к.ч. z₁ = a₁ + b₁×i и z₂ = a₂ + b₂×i. Их сумной будет к. ч. z = z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i×(b₁ + b₂). Из свойств векторов известно, что при сложении векторов их соответственные координаты складываются. Поэтому, если вектор имеет координаты (a₁, b₁) (рис. 3.2), а вектор – координаты (а₂, b₂), то их сумма (вектор ) будет иметь координаты (a₁ + a₂; b₁ + b₂), который и является геометрической интерпретацией суммы к. ч. z₁ и z₂. Так как разность двух комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁×i и z₂ = a₂ + b₂×i есть сумма комплексного числа z₁ и числа, противоположного комплексному числу z₂, то геометрически ее можно изобразить как сумму вектора с координатами (a₁, b₁) и вектора с координатами (–a₂, –b₂) (рис. 3.3), т. е. как вектор с координатами (a₁ – a₂; b₁ – b₂).

2.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Обозначим длину вектора ОА буквой r:

r = |ОА|,

а угол; который вектор образует с положительным направлением оси Ох, – через j (угол j считаем измеренным в радианах). По определению тригонометрических функций sin j = b /r, cos j = a /r. Тогда к.ч. z = a + b×i можно записать в виде

z = r×(соs j + i×sin j), (1)

где r = , а угол j определяется из условий

sin j = b / , cos j = a / .

Запись к.ч. в виде (1) называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Действительное число r называется модулем комплексного числа и обозначается r = |z|, а угол j (измеренный в радианах) – аргументом комплексного числа z. Аргумент j комплексного числа z обозначается Arg z.

Пусть z₁ и z₂ – два отличных от нуля комплексных числа, записанных в тригонометрической форме:

z₁ = r₁×(cos j₁ + i×sin j₁), z₂ = r₂×(cos j₂ + i×sin j₂).

Произведение двух к.ч. z₁ и z₂ есть к.ч., модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей:

z = z₁×z₂ = r₁×r₂×[cos(j₁+j₂) + i×sin(j₁+j₂)].

Частное двух к.ч. z₁ и z₂ есть к. ч., модуль которого равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного двух отличных от нуля к.ч. равен разности аргументов делимого и делителя:

z = z₁/z₂ = r₁/r₂×[cos(j₁ – j₂) + i×sin(j₁ – j₂)].

Дата добавления: 2014-01-03