Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 11. Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Пример 12. Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение:

Проведем замену:

Пример 13. Найти неопределенный интеграл.

Замена:

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены!

Пример 14. Найти неопределенный интеграл.
Решение:

Замена:

Пример 15. Найти неопределенный интеграл.

Замена:

Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:

Пример 16

Найти неопределенный интеграл.

Решение:

Проведем замену:

Пример 17. Найти неопределенный интеграл.

Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус:. У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.

Общее правило:
За обозначаем саму функцию (а не её производную).

В данном случае:. Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения.

В этом примере нахождение я распишу подробно поскольку – сложная функция.

Или короче:
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток:

Таким образом:

Пример 18.

.

Пример19..

.

Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой:

,;;

,;;

,;.

Пример20.

,

т. к..

Такой метод называется подведением под знак дифференциала

.

При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей дифференциалов.

Таблица дифференциалов

1., – const,,

2.

3.

4.,,,

5.

6.

7.

8.

9.

10.,

11.,

Пример 1

Вычислить. Решение. Сделаем замену. Тогда. Следовательно, интеграл принимает вид  

Пример 2

Вычислить интеграл. Решение. Применяем подстановку. Тогда или. С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется:  

Пример 3

Найти интеграл. Решение. Перепишем интеграл в виде   Обозначая 2e = a (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается x), получаем табличный интеграл  

Пример 4

Вычислить интеграл. Решение. Запишем интеграл как   Используя замену   получаем ответ  

Пример 5

Вычислить интеграл. Решение. Сделаем следующую подстановку:   Следовательно,  

Дата добавления: 2014-01-03