Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод замены переменной в неопределенном интеграле





Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 11. Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

 

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Пример 12.Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Решение:

Проведем замену:


Пример 13. Найти неопределенный интеграл.

Замена:

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

 

Пример 14.Найти неопределенный интеграл.
Решение:

Замена:

 

Пример 15. Найти неопределенный интеграл.

 

Замена:

 

Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:

Пример 16

Найти неопределенный интеграл.

Решение:

Проведем замену:

 

Пример 17. Найти неопределенный интеграл.

Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: . У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.

Общее правило:
Заобозначаем саму функцию (а не её производную).

В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения .

В этом примере нахождение я распишу подробно поскольку – сложная функция.


Или короче:
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток:

Таким образом:

Пример 18.

 

.

Пример19..

 

.

Замечание. Следующие интегралы удобно решать указанной заменой:

, ; ;

, ; ;

, ; .

Пример20.

,

т. к. .

Такой метод называется подведением под знак дифференциала

.

При использовании этого метода можно воспользоваться таблицей дифференциалов.

Таблица дифференциалов

1. , – const, ,

2.

3.

4. , , ,

5.

6.

7.

8.

9.

10. ,

11. ,

Пример 1
 
Вычислить . Решение. Сделаем замену . Тогда . Следовательно, интеграл принимает вид  
Пример 2
 
Вычислить интеграл . Решение. Применяем подстановку . Тогда или . С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется:  
Пример 3
 
Найти интеграл . Решение. Перепишем интеграл в виде   Обозначая 2e = a (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается x), получаем табличный интеграл  
Пример 4
 
Вычислить интеграл . Решение. Запишем интеграл как   Используя замену   получаем ответ  
Пример 5
 
Вычислить интеграл . Решение. Сделаем следующую подстановку:   Следовательно,  

 







Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 638; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.