Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

Матрица называется обратной к матрице , если выполняется следующее условие: . В этом случае обозначают .

Теорема 1. Всякая невырожденная матрица имеет свою обратную матрицу.
Доказательство. Пусть дана матрица , причем . Составим матрицу следующим образом

,

где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы . Найдем произведение

На диагонали полученной матрицы стоят суммы произведений элементов строк на их алгебраические дополнения. По свойству 8 они равны определителю матрицы . На остальных местах стоят суммы произведений элементов строк на соответствующие алгебраические дополнения элементов других строк. По свойству 9 все они равны нулю. Поэтому

. Таким образом, . Аналогично можно получить равенство . Отсюда

По определению обратной матрицы

Так как , то матрица существует. Следовательно, матрица имеет обратную матрицу. Теорема доказана.

Следствие: Для произвольной матрицы обратная матрица имеет вид .

Есть другой способ вычисления обратной матрицы методом элементарных преобразований. Для матрицы и единичной матрицы составляется расширенная матрица , которая с помощью элементарных преобразований приводится к виду . Можно показать, что в этом случае .

Пример 25. Для матрицы вычислить .

Решение. Так как , то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения:

, ,
, .

В соответствии с следствием из теоремы о существовании обратной матрицы . Сделаем проверку

.

Свойства обратной матрицы.

1. ;

2. ;

3. .

Дата добавления: 2014-01-03