Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Обратная матрица





Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

Матрица называется обратнойк матрице , если выполняется следующее условие: . В этом случае обозначают .

Теорема 1.Всякая невырожденная матрица имеет свою обратную матрицу.
Доказательство. Пусть дана матрица , причем . Составим матрицу следующим образом

,

где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы . Найдем произведение

На диагонали полученной матрицы стоят суммы произведений элементов строк на их алгебраические дополнения. По свойству 8 они равны определителю матрицы . На остальных местах стоят суммы произведений элементов строк на соответствующие алгебраические дополнения элементов других строк. По свойству 9 все они равны нулю. Поэтому

. Таким образом, . Аналогично можно получить равенство . Отсюда

По определению обратной матрицы

Так как , то матрица существует. Следовательно, матрица имеет обратную матрицу. Теорема доказана.

Следствие:Для произвольной матрицы обратная матрица имеет вид .

Есть другой способ вычисления обратной матрицы методом элементарных преобразований. Для матрицы и единичной матрицы составляется расширенная матрица , которая с помощью элементарных преобразований приводится к виду . Можно показать, что в этом случае .

Пример 25. Для матрицы вычислить .

Решение. Так как , то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения:

, ,
, .

В соответствии с следствием из теоремы о существовании обратной матрицы . Сделаем проверку

.

Свойства обратной матрицы.

1. ;

2. ;

3. .





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 347; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.