КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Двойной интеграл, его свойства и вычисление
Пусть даны – замкнутая ограниченная область (компакт) и функция определенная в этой области. Произведем разбиение этой области на частичные подобласти с помощью конечного числа непрерывных кривых. Обозначим через диаметр разбиения т.е. число Возьмём произвольно точку и составим интегральную сумму (где площадь области ). Определение 1. Если существует конечный предел интегральных сумм: и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек то его называют двойным интегралом от функции по области и обозначают При этом функция называется интегрируемой по области Отметим без доказательства следующие свойства: 1) Любая функция, непрерывная на компакте , интегрируема на этом компакте; 2) Если функция ограничена на компакте и имеет на нем разрывы разве что на конечном числе непрерывных кривых, то она интгрирума в 3) Двойной интеграл от произвольной ограниченной функци по ограничен- ной кусочно непрерывной кривой равен нулю.
Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим цилиндрическое тело с нижним основанием , верхним основанием - поверхностью и с образующей боковой поверхности, параллельной оси Произведение есть объём цилиндра высоты и площадью основания , а интегральная сумма – суть объём ступенчатого тела, построенного по разбиению . Ясно, что обём тела приближенно равен объёму этого ступенчатого тела, т.е. Это равенство будет тем точнее, чем мельче разбиение , и при оно становится точным, т.е. Здесь слева стоит двойной интеграл , поэтому т.е. двойной интеграл равен объёму цилиндрического тела Двойные интегралы обладают свойствами, аналогичными свойствам одномерных интегралов. Сформулируем их, предполагая, что замкнутая ограниченная квадрируемая область в 10) (линейность ) Если функции интегрируемы в , то и любая их линейная комбинация также интегрируема в , причем имеет место равенство
20) (аддитивность) Если область разбита на две непересекающиеся подобласти и с помощью непрерывной кривой и если функция интегрируема в , то она интегрируема и в каждой из областей и (и наоборот). При этом имеет место равенство
30) (монотонность) Если функции интегрируемы в и имеет место неравенство то
40) Если функция интегрируема в и имеют место неравенства
то
где площадь области 50) (теорема о среднем) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области то существует точка такая, что Геометрически это означает, что если то объём цилиндрического тела с верхним основанием и с нижним основанием равен объёму некоторогоого параллелепипеда с тем же основанием и высотой При вычислении двойных интегралов используются повторные интегралы, которые имеют следующий смысл: Теорема 1 (Фубини). Если прямоугольник и если функция кусочно непрерывна в то
Теорема 2 (вычисление двойного интеграла в криволинейной области). Если имеет вид где функции непрерывны на отрезке и если функция непрерывна в то
Доказательство. Обозначим , и рассмотрим функцию Эта функция кусочно непрерывна в , поэтому применима теорема Фубини: Так как то Теорема доказана. Замечание 1. В случае области типа и непрерывности функции и функций имеет место равенство
Заметим, что области которые участвуют в формулах (1) и (2), являются правильными областями. Более точно: область называется правильной в направлении оси если любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Если область – неправильная, то её разбивают на правильные подобласти с помощью конечного числа непрерывных кривых и применяют к соответствующему интегралу теорему об аддитивности интеграла. Замечание 2. Если область является правильной как в направлении оси так и в направлении оси то имеет место равенство
(в предположении, что все участвующие здесь функции непрерывны в соответствующих областях). Таким образом, в случае области описанного типа можно изменять порядок интегрирования. Этим часто пользуются, желая упростить вычисление двойного интеграла. Пример 1( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Изменить порядок интег-рирования Решение. Сначала нарисуем область , по которой берется соответствующий двойной интеграл. Она находится между двумя параболами и Изменяя порядок интегрирования, найдём, что Поясним, как получен этот результат. Спроектируем область на ось получим отрезокЗначит, пределы внешнего интеграла – суть числа и Теперь зафиксируем произвольно и проведем через точку луч в направлении оси Он пересечет нижнюю границу области в точке с ординатой (это будет нижняя граница внутреннего интеграла), а верхнюю границу области в точке с ординатой (это будет верхняя граница внутреннего интеграла). Пример 2 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Вычислить интеграл
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 953; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |