Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дифференцирующие цифровые фильтры


Передаточная функция. Из выражения для производной d(exp(jwt))/dt = jw exp(jwt)

следует, что при расчете фильтра производной массива данных необходимо аппроксимировать рядом Фурье передаточную функцию вида H(w) = jw. Поскольку коэффициенты такого фильтра будут обладать нечетной симметрией (h-n = -hn) и выполняется равенство

hn [exp(jwn)-exp(-jwn)] = 2j hn sin nw,

то передаточная характеристика фильтра имеет вид:

H(w) = 2j(h1 sin w + h2 sin 2w + ... + hN sin Nw),

т.е. является мнимой нечетной, a сам фильтр является линейной комбинацией разностей симметрично расположенных относительно sk значений функции. Уравнение фильтрации:

yn =hn(sk+n - sk-n).

Если дифференцированию подлежит низкочастотный сигнал, а высокие частоты в массиве данных представлены помехами, то для аппроксимации в пределах главного частотного диапазона задается (без индекса мнимости) передаточная функция фильтра вида:

H(w) = w, w £ wв, H(w) = 0, wв< w £ wN.

Оператор дифференцирующего фильтра:

h(n) = (2/p)H(w) sin(npw/wN) dw, n = 0,1,2,... (7.5.1)

Принимая, как обычно, wN = p (Dt = 1) и решая (7.5.1) при H(w) = w, получаем:

hn = (2/p)[sin(nwв)/n2 - wв cos(nwв)/n], (7.5.2)

hо = 0, h-n = -hn.

Частотная характеристика:

Im(H(w)) =hn sin nw = 2hn sin nw. (7.5.3)

Точность дифференцирования. На рис. 7.5.1 приведен пример расчета коэффициентов дифференцирующего фильтра на интервал частот {0-0.5}p при Dt=1 (wв = p/2). Операторы дифференцирующих фильтров, как правило, затухают очень медленно и, соответственно, достаточно точная реализация функции (7.5.3) весьма затруднительна.

Рис. 7.5.1. Коэффициенты оператора фильтра.

Ряд (7.5.3) усекается до N членов, и с помощью весовых функций производится нейтрализация явления Гиббса. Явление Гиббса для дифференцирующих фильтров имеет весьма существенное значение, и может приводить к большим погрешностям при обработке информации, если не произвести его нейтрализацию. Примеры ограничения оператора, приведенного на рис. 7.5.1, и соответствующие передаточные функции H'(w) усеченных операторов показаны на рис. 7.5.2.

Рис. 7.5.2. Частотные функции фильтров.

Для оценки возможных погрешностей дифференцирования усеченными операторами произведем расчет фильтра при wв = p/2. По формулам (7.5.2) определяем:

h0-10 = 0, 0.3183, 0.25, -0.0354, -0.125, 0.0127, 0.0833, -0.0065, -0.0625, 0.0039, 0.05.

Произведем проверку работы фильтра на простом массиве данных sn = n, производная которого постоянна и равна 1. Для массива с постоянной производной фильтр может быть проверен в любой точке массива, в том числе и в точке n=0, для которой имеем:



у =hn so-n = 2n hn,

при этом получаем: у=0.5512 при N=5, у=1.53 при N=10.

Рис. 7.5.3. Погрешность дифференцирования.

Такое существенное расхождение с действительным значением производной объясняется тем, что при w=0 тангенс угла наклона реальных передаточных функций фильтра, как это видно на рисунке 7.5.2, весьма существенно отличается от тангенса угла наклона аппроксимируемой функции H(w) = w. На рис. 7.5.3 приведены частотные графики относительной погрешности дифференцирования s = Hн'(w)/Hн(w) с вычислением значений на нулевой частоте по пределам функций при N → ∞. На рис. 7.5.4 приведен пример операции дифференцирования гармоники s с частотой wo оператором с N=10 в сопоставлении с точным дифференцированием ds/dk.

Рис. 7.5.4. Пример операции дифференцирования.

Применение весовых функций. Применим для нейтрализации явления Гиббса весовую функцию Хемминга. Результат нейтрализации для фильтра с N=10 приведен на рис. 7.5.5. Повторим проверочный расчет дифференцирования на массиве sn = n и получим результат у=1.041, т.е. погрешность дифференцирования уменьшается порядок.

Рис. 7.5.5. Дифференцирование с применением весовой функции.

Аналогично производится расчет и полосовых дифференцирующих фильтров с соответствующим изменением пределов интегрирования в (7.5.1) от wн до wв. При этом получаем:

hn = (wнcos nwн-wвcos nwв)/(np) + (sin nwв-sin nwн)/(n2p).

Фильтры с линейной групповой задержкой. Дифференцирующие фильтры, а равно и любые другие фильтр с мнимой частотной характеристикой, например, оператор преобразования Гильберта, могут быть выполнены в каузальном варианте при условии обеспечения линейной групповой задержки сигнала, которое записывается следующим образом:

j(w) = b - aw, (7.5.4)

где b и a - константы.

Оно выполняется, если импульсная характеристика фильтра имеет положительную симметрию:

h(n) = -h(N-n-1), n = 0, 1, 2, …, (N-1)/2, N – нечетное (тип 1);

n = 0, 1, 2, …, (N/2)-1, N – четное (тип 2).

При этом фазовая характеристика будет определяться длиной фильтра:

a = (N-1)/2, b = p/2.

Частотная характеристика фильтра:

H(w) = |H(w)| exp(jj(w)), (7.5.4)

где модуль |H(w)| задается нечетным. Оба типа фильтров вводят в выходной сигнал сдвиг фазы на 90о. Кроме того, частотная характеристика фильтра типа 1 всегда равно нулю на частоте Найквиста, что определяется знакопеременностью левой и правой части главного диапазона спектра с учетом периодизации спектра дискретных функций.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Пример расчета гладкого фильтра | АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА нцф

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 831; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.