Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Статистическая проверка гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотеза. Статистический критерий. Критическая область


 

При исследовании случайной величины X на основании статистических данных довольно часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности или, если закон распределения известен, его параметры. В этих случаях выдвигают гипотезы о виде предполагаемого распределения или о предполагаемой величине параметра известного распределения.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу . Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит основной.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание нормального распределения равно 5, то конкурирующая гипотеза состоит в предположении, что . Кратко это записывают так:; .

Проверку выдвинутой гипотезы осуществляют статистическими методами, поэтому ее называют статистической проверкой гипотез. В итоге статистической проверки гипотезы может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов:

1) ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза;

2) ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Правильное решение может быть принято также в двух случаях:

1) гипотеза принимается, причем она и в действительности правильная;

2) гипотеза отвергается, причем она и в действительности неверна.

Вероятность совершить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу) принято обозначать через ; ее называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Если, например, принят уровень значимости 0,01, то это значит, что имеется риск отвергнуть правильную гипотезу в одном случае из ста.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину , которая служит для проверки нулевой гипотезы. Часто критерием служит случайная величина, распределенная по закону c2 или закону Стьюдента.

Наблюдаемым значением Кнабл. называют значение критерия, вычисленное по выборке, т.е. получают частное (наблюдаемое) значение критерия, вычисленное с помощью частных значений, входящих в критерий величин. После установления множество его значений разбивается на два пересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, другое – при которых она принимается.

Критической областью называют множество значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью допустимых значений (область принятия гипотезы) называют множество значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.



Идея метода статистических гипотез состоит в следующем: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение принадлежит области допустимых значений – нулевую гипотезу принимают.

Критическая область и область принятия гипотезы представляют собой интервалы, поэтому существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками кр называют точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы.

Различают односторонние критические области (правосторонние и левосторонние) и двусторонние.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством кр, где кр>0 (рис. 1, а).

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством кр, где кр < 0 (рис. 1,b).

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами , где . В частности, если критические точки симметричны, двусторонняя критическая область определяется неравенствами кр, кр или кр (рис.1,c).

Нахождение правосторонней критической области

Как известно, правосторонняя критическая область определяется неравенством кр. Для нахождения критической точки кр задаем достаточно малую вероятность – уровень значимости . Затем находим критическую точку исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что кр., была равна

кр=a. (20)

Обоснование равенства (20) заключается в следующем: так как вероятность события крмала (– малая вероятность), то при справедливости нулевой гипотезы это событие не должно наступить в единичном испытании; если же оно произошло, т.е. наблюдаемое значение критерия оказалось больше кр, то это можно объяснить тем, что нулевая гипотеза ложна и должна быть отвергнута. С другой стороны, наблюдаемое значение может оказаться большим кр не потому, что нулевая гипотеза ложна, а по другим причинам (малый объем выборки, недостатки методики эксперимента и др.). В этом случае, отвергнув нулевую гипотезу совершают ошибку первого рода. Вероятность этой ошибки равна уровню значимости .

Критическая точка кр находится по таблицам критических точек распределения критерия и заданному уровню значимости .

Если критическая точка кр уже найдена, по данным выборки вычисляют наблюдаемое значение критерия наб и, если окажется, что наб > кр − нулевую гипотезу отвергают; если же наб < кр – нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Нахождение левосторонней критической области

Левосторонняя критическая область определяется неравенством <кр(кр<0). Критическую точку кр находят исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий примет значение, меньшее кр, была равна принятому уровню значимости :

кр. (21)

Если набкр – нулевая гипотеза отвергается, если наб > kкр – нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Нахождение двусторонней критической области

Двусторонняя критическая область определяется неравенствами (). Задаем уровень значимости . Критические точки и находят исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы выполнялось равенство:

(22)

Ясно, что критические точки и могут быть выбраны бесконечным числом способов. Если распределение является симметричным относительно , выбирают симметричные критические точки: кр,кр, (кр>0). В этом случае кр)кр), и поэтому:

кр). (23)

Из соотношения (23) определяют кр. После ее нахождения находят наб и, если набкр – нулевую гипотезу отвергают; если набкр – нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Нахождение оценки для коэффициента корреляции двух случайных величин | Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 684; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.