Проблемы Гильберта

8 августа 1900 года в Париже на заседании второго Международного конгресса математиков Д. Гильберт выступил с докладом «Математические проблемы».

Доклад был необычен. Он не включал в себя новых теорем, не предлагал решений никаких проблем. Напротив, он содержал формулировки двадцати трех проблем, решение которых, по замыслу докладчика, должно было стать главным стимулом развития математики в 20 столетии.

«Кто из нас не хотел бы приот­крыть завесу, за которой скрыто на­ше будущее, чтобы хоть одним взгля­дом проникнуть в предстоящие успе­хи нашего знания и тайны его раз­вития в ближайшие столетия? Ка­ковы будут те особенные цели, ко­торые поставят себе ведущие мате­матические умы ближайшего поколе­ния? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столе­тии на широком и богатом поле ма­тематической мысли? — такими сло­вами Д. Гильберт начал свой доклад. Затем он продолжал. — История учит, что развитие науки протекает непре­рывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые после­дующая эпоха или решает, или отод­вигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный харак­тер развития математики в ближай­шем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, кото­рые еще остаются открытыми, обоз­реть проблемы, которые ставит сов­ременная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным». И Гильберт пред­лагает вниманию слушателей двад­цать три проблемы из различ­ных областей математики, «исследо­вание которых может значительно стимулировать дальнейшее разви­тие науки».

Решение каждой из двадцати трех проблем Гильберта, даже каждый частичный успех в их решении при­нимаются всем математическим миром как крупное математическое достиже­ние. В чем секрет такой популярности гильбертовских проблем, той значимости, которое придается их решению? Ведь число нерешенных задач, поставленных в математической литературе, огромно, и лишь некоторые из них (как, например, проблема Ферма) приобретают ши­рокую известность. А здесь не одна, а целых двадцать три задачи, неко­торые из которых — не просто задачи в узком смысле этого слова, а планы разработки целых математических на­правлений!

Первые шесть проблем доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисцип­лин, следующие девять — к более специальным вопросам алгебры, ал­гебраической геометрии и теории чи­сел, остальные восемь — к теории функций, дифференциальным урав­нениям и вариационному исчислению. Следует отметить, что некоторые из этих проблем были поставлены задолго до Гильберта. Так, первая в списке — проблема континуума — была поставлена Г. Кантором в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К.Гаус­сом в его переписке с Герлингом. Что касается вопросов, составляющих со­держание восьмой проблемы, то один из них — гипотеза о нулях дзета-функции — был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый гипотезой Гольдбаха, — еще в 1742 го­ду в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема — задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором кото­рых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти обстоятельства подчеркивают особый характер вы­бора проблем, содержащихся в док­ладе,— здесь лишь те наиболее важ­ные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед матема­тикой, размышления над которыми могли помочь «представить себе воз­можный характер развития математи­ческого знания в ближайшем буду­щем».

Дальнейший ход событий показал, что выбор проблем, сделанный Гиль­бертом, был в основном правильным: разработка идей, связанных с их содержанием, составила значитель­ную часть математики XX века. В ре­шении этих проблем принимали уча­стие очень многие талантливые мате­матики из различных стран мира, в том числе сам Гильберт и его много­численные ученики. Замечательное место среди них принадлежит оте­чественным математикам. В то время Россия не была еще мощной мате­матической державой, подобной Гер­мании или Франции, хотя и обладала уже признанными математическими школами и дала миру ряд выдаю­щихся математиков, среди них — ве­личайших математических гениев — Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева. Однако золотой век отечественной математики был еще впереди. На конгрессе в Париже русская делега­ция была сравнительно небольшой— 9 человек (сравните: Франция — 90, Германия — 25) и выступила всего с одним сообщением «Об исчезновении (мы бы сказали — о нулях — С. Д.) функции Н нескольких переменных», которое сделал харьковский профес­сор М. А. Тихомандрицкий.

Дата добавления: 2014-01-03