Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность { x_n } называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

,

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Последовательность { x_n }называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x_n £ M.

Последовательность { x_n }называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что x_n ³ M

Пример. { x_n } = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Число а называется пределом последовательности { x_n }, если для любого положительного e >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность { x_n } сходится к а при n ®¥.

Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n ®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

{ x_n }= 2 + 1/ n; 1/ n = x_n – 2. Очевидно, что существует такое число n, что ,

т.е. lim { x_n } = 2.

Дата добавления: 2014-01-03