Монотонные последовательности

1) Если x_{n +1} > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_{n +1} ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_{n +1} < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4) Если x_{n +1} £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. { x_n } = 1/ n – убывающая и ограниченная

{ x_n } = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность { x_n }=монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности { x_{n +1}}=

Найдем знак разности: { x_n }-{ x_{n +1}}=

, т.к. n Î N, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность {x_n}=.

Найдем . Найдем разность , т.к. n Î N, то 1 – 4 n <0, т.е. х_{n +1} < x_n. Последовательность монотонно убывает.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Число е

Рассмотрим последовательность { x_n } = .

Эта последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Дата добавления: 2014-01-03