Монотонные последовательности

 

1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4) Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 

Пример. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная

{x_n} = n – возрастающая и неограниченная.

 

Пример. Доказать, что последовательность {x_n}=монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {x_n+1}=

Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

 

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность {x_n}=.

Найдем . Найдем разность , т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х_n+1 < x_n. Последовательность монотонно убывает.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 

Число е

 

Рассмотрим последовательность {x_n} = .

Эта последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

 

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…