Монотонные последовательности
1) Если xn +1 > xn для всех n , то последовательность возрастающая .
2) Если xn +1 ³ xn для всех n , то последовательность неубывающая .
3) Если xn +1 < xn для всех n , то последовательность убывающая .
4) Если xn +1 £ xn для всех n , то последовательность невозрастающая .
Все эти последовательности называются монотонными . Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными .
Пример. {xn } = 1/n – убывающая и ограниченная
{xn } = n – возрастающая и неограниченная.
Пример. Доказать, что последовательность {xn }= монотонная возрастающая.
Найдем член последовательности {xn +1 }=
Найдем знак разности: {xn }-{xn +1 }=
, т.к. n ÎN , то знаменатель положительный при любом n .
Таким образом, xn +1 > xn . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность {xn }= .
Найдем . Найдем разность , т.к. n ÎN , то 1 – 4n <0, т.е. хn +1 < xn . Последовательность монотонно убывает.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Число е
Рассмотрим последовательность {xn } = .
Эта последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е .
Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…
Дата добавления: 2014-01-03 ; Просмотров: 315 ; Нарушение авторских прав? ; Мы поможем в написании вашей работы!
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Читайте также: