Свойства эквивалентных бесконечно малых

1) a ~ a,

2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g,

3) Если a ~ b, то b ~ a,

 

4) Если бесконечно малые функции a(х) и b(х) соответственно эквивалентны бесконечно малым функциям a₁(х) и b₁(х) и существует конечный или бесконечный, то и существует и они равны, т.е. = .

Следствия:

а) если a(х) ~ a₁(х) и , то и

б) если b(х) ~ b₁(х) и , то

 

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

 

При х®0 эквивалентными бесконечно малыми являются следующие функции:

 

1. sin x~ х;

2. tg x ~ x;

3. ln(1+x) ~ x;

4. e^x – 1 ~ x;

5. 1 – cos x ~ ;

6. a^x – 1 ~ x lna;

7. (1 + x)^a – 1 ~ ax;

8. arcsin x ~ x;

9. arctg x ~ x.

 

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример. Найти предел .

Так как 1 – cos x = при х®0, то .

 

Пример. Найти предел