Геометрический и физический смысл производной

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

 

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой: .

 

у

f(x)

 

 

f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

 

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

 

 

Геометрический смысл производной заключается в следующем: производная функции равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x_0.

Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной: мгновенная скорость прямолинейного движения есть первая производная от пути по времени.

Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение.