Интегрирование элементарных дробей

Элементарныминазываются дроби следующих четырех типов:

 

I. II. III. IV.

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b² – 4ac <0.

 

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

 

I.

 

II.

 

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби III вида может быть представлен в виде:

 

 

Пример.

Т.к. , , то

Пример.

Т.к. , то

Пример.

,

=

 

Пример.

 

Пример.

 

 

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

 

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

 

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u² + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

 

Пример: