Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций

Интегрирование рациональных функций.

Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример. .

Подынтегральная дробь — неправильная, поэтому выделим её целую часть:

;

Проинтегрируем:

разложим на линейные множители

Правильную дробь разложим на простейшие дроби и найдём коэффициенты A, B, C.

приведя правую часть равенства к общему знаменателю и отбросив последний, имеем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов A, B, C.

Таким образом,

Пример.

Правильную дробь разложим на простейшие дроби.

Пример.

Т.к. (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Пример.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6 x ⁵ – 8 x ⁴ – 25 x ³ + 20 x ² – 76 x – 7 3 x ³ – 4 x ² – 17 x + 6

6 x ⁵ – 8 x ⁴ – 34 x ³ + 12 x ² 2 x ² + 3

9x³ + 8 x ² – 76 x - 7

9 x ³ – 12 x ² – 51 x +18

20 x ² – 25 x – 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3 x ³ – 4 x ² – 17 x + 6 x - 3

3 x ³ – 9 x ² 3 x ² + 5 x - 2

5 x ² – 17 x

5 x ² – 15 x

- 2 x + 6

-2 x + 6

Таким образом 3 x ³ – 4 x ² – 17 x + 6 = (x – 3)(3 x ² + 5 x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3 x – 1).

Тогда

Для того чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

=

Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

Тогда значение заданного интеграла:

Дата добавления: 2014-01-03