Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Мы поможем в написании ваших работ!

Основные понятия теории множеств. Понятие множества является одним из наиболее общих математических понятий


Тема 2.1 Множества

Понятие множества является одним из наиболее общих математических понятий. Его определение не удается свести к другим понятиям. Поэтому для понятия множества дается описательное определение, содержание и смысл которого раскрываются при изучении теории множеств.

Множество – это набор, совокупность каких-либо объектов, называемых его элементами, обладающих некоторым общим для них характеристическим свойством. В качестве примеров можно привести множество действительных чисел, множество решений заданного алгебраического уравнения, множество прямых, проходящих через заданную точку. В принципе никаких ограничений на природу элементов, их количество и свойства не налагается, так что допустимо рассмотрение таких множеств, как множество налогоплательщиков, множество процентных ставок и т. п.

Элементы, составляющие множество, обычно обозначаются малыми латинскими буквами, а само множество – большой латинской буквой. Знак используется для обозначения принадлежности элемента множеству. Запись aA означает, что элемент a принадлежит множеству A. Если некоторый объект xне является элементом множества A, пишут xA. Например, если A – это множество четных чисел, то 2A, а 1A. Множества A и B считаются равными (пишут A=B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Элементы, из которых состоит данное множество, сами могут быть множествами. Например, рассмотрим множество студенческих групп на втором курсе. Его элементами являются группы. Каждая группа – это множество студентов.

Если множество содержит конечное число элементов, его называют конечным; в противном случае множество называется бесконечным. Если множество A конечно, символом |A| будет обозначаться число его элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Очевидно, ||=0.

Множества А и В называются эквивалентными, если существует взаимно-однозначное соответствие между множествами А и В. Эквивалентные, или равномощные, множества обозначаются .

Если , то множество А называется счетным. Счетное множество – это такое множество А, все элементы которого могут быть занумерованы в бесконечную последовательность так, чтобы при этом каждый элемент получил лишь один номер n и каждое натуральное число n было бы номером лишь одного элемента множества А. Таким образом, счетное множество – это множество значений какой-либо последовательности . Пустое множество по определению относится к счетным.

Конечное множество может быть задано перечислением всех его элементов. Если множество A состоит из элементов x, y, z, …, пишут A={x, y, z, …}.

Пример 1. A = {0, 2, 4, 6, 8} – множество четных десятичных цифр;



B = {2, 3} – множество решений уравнения x2–5x+6=0;

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} – множество остатков при делении целых чисел на 7.

Иногда перечислением элементов задают и бесконечное множество. Это делают в тех случаях, когда ясен алгоритм последовательного порождения элементов:

A={0, 1, 4, 9, 16, …} – множество квадратов целых чисел.

В общем случае множества можно определять по так называемой схеме свертывания. При заданном характеристическом свойстве F и заданном классе элементов K множество A определяется как множество, которое содержит все элементы из K, обладающие свойством F. Для определения по схеме свертывания используется следующая запись:

A = {x | x обладает свойством F}.

Применяя сокращение F(x) для обозначения того, что элемент x обладает свойством F, будем писать

A = {x | F(x)}.

Класс K может быть указан явно; в этом случае используется запись

A = {xK | F(x)}.

Множество четных чисел P можно определить как

P = {x | x – четное целое число},

или как

P = { xZ | x четно},

где через Z обозначено множество целых чисел.

Неограниченное применение схемы свертывания ведет к противоречиям. Например, можно получить «множество всех множеств»:

M = {x | x – множество}.

Если считать M множеством, то получаем MM.

Рассмотрим парадокс Рассела, открытый в 1902 году. Назовем множество правильным, если оно не является своим элементом, и неправильным в противном случае. Определим множество R как множество всех правильных множеств. Более формально:

R = {x | xR}.

В соответствии с определением для любого множества A справедливо утверждение:

AR тогда и только тогда, когда AA. В частности, если считать R множеством, то его само можно взять в качестве A, но тогда мы придем к противоречию:

RR тогда и только тогда, когда RR.

Более подробно. Если R правильное, то есть не является своим элементом, то оно должно находиться в R, то есть быть своим элементом. Если же R неправильное, то оно является своим элементом, то есть содержится в R, но R содержит только правильные множества. Таким образом, R не может быть ни правильным, ни неправильным.

Введем используемое в дальнейшем понятие индексированного семейства множеств. Пусть I – некоторое множество, каждому элементу которого i сопоставлено однозначно определенное множество Ai. Элементы множества I называют индексами, а совокупность множеств Aiназывают индексированным семейством множеств и обозначают через (Ai)iI.

Подмножества. Говорят, что множество B является подмножеством (или частью) множества A и пишут BA, если всякий элемент множества B является элементом множества A. Например, множество натуральных чисел N является подмножеством множества целых чисел Z, а последнее, в свою очередь, является подмножеством множества рациональных чисел Q, то есть NZ и ZQ, или, короче, NZQ. Легко видеть, что если BA и AB, то множества A и B состоят из одних и тех же элементов, и, значит, A=B. Наряду с обозначением BA используется также AB, имеющее тот же смысл.

Вообще говоря, подмножество множества A может быть задано определяющим свойством. Например, свойство быть четным числом определяет в множестве целых чисел подмножество четных чисел. Каково бы ни было множество A, пустое множество и само A являются его подмножествами: A, AA. Пустое множество может быть задано свойством, которым не обладает ни один элемент множества A, например, x≠x. Возможны и более содержательные ситуации. Например, свойство быть корнем уравнения x2+1=0 задает в множестве действительных чисел пустое подмножество. Множество A может быть задано как свое подмножество каким-нибудь свойством, которым обладают все элементы множества A, например, x = x. Подмножества множества A, отличные от и A, называются собственными. Совокупность всех подмножеств множества А называется булеаном ,или множеством-степенью, и обозначается Р(А) или 2А.

Пример 2. Пусть A={a, b, c}. Тогда множество 2А состоит из следующих элементов:

{∅}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.

Если множество A конечно и содержит n элементов, то это множество имеет 2n подмножеств, то есть |2А |= 2 |A|.

Множество всех подмножеств, находящихся в рассмотрении, называется универсальным, или универсумом, и обозначается через U.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
К полиному Жегалкина | Операции над множествами. Пересечение множеств A и B, обозначаемое AB, – это множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат обоим множествам A и B

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 846; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.