Определение 2.1Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0. Предел отношения приращения Dу функции в этой точке (если он существует) к приращению Dх аргумента, когда Dх ® 0, называется производной функции f(x) в точке х0.
Обозначения:
или
.
Вычисление производной называется дифференцированием функции.
Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой очке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.
Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная
есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона), проведенной к кривой y = f(x) в точке х0, т.е.
.
Тогда уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M(х0, f(x0)) примет вид
или
.
Уравнение нормали (перпендикуляра) к кривой y = f(x) в точке M(х0, f(x0)) имеет вид:
.
Из задачи о скорости движения следует механический смысл производной: производная пути по времени
есть скорость точки в момент
:
, а производная скорости по времени
есть ускорение точки в момент
:
.
Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени
есть производительность труда в момент
.