Лекция 2. Основные правила дифференцирования

Схема вычисления производной

 

Производная функции y = f(x) может быть найдена по следующей схеме:

1) Дадим аргументу х приращение Dх ¹ 0 , х + Dх.

2) Найдем значение функции f(x + Dх).

3) Находим приращение функции Dу = f(x + Dх) - f(x).

4) Составляем отношение .

5) Находим предел этого отношения при Dх ® 0, т.е. (если этот предел существует).

Пример 1. Найти производную функции у = х³, используя определение.

Решение:

1) х+Dх, 2) f(x + Dх) = (x + Dх)³ = х³ + 3х²Dх + 3хDх² + Dх³;

3) Dу = f(x + Dх) - f(x) = х³ + 3х²Dх + 3хDх² + Dх³ - Dх³ = 3х²Dх + 3хDх² + Dх³.

4) = 3х² + 3хDх + Dх².

5) (3х² + 3хDх + Dх²) = 3х² + 3хDх + Dх² = 3х² +0 +0 = 3х².

Можно доказать, что для любого (не только натурального) n имеем формулу производной степенной функции - . Полезно знать частные случаи этой формулы при n = и n = -1.

; .

Используя определение производной функции можно вывести формулы для дифференцирования основных элементарных функций. Ниже приведены некоторые элементарные функции и их производные.

 

Название функции	Алгебраическая формула	Производная функции
Степенная
Показательная
Логарифмическая
Тригонометрические
Обратные тригонометрические