Лекция 3. Логарифмическая производная. Производная неявной функции. Производные высших порядков.
При нахождении производных от показательно-степенных функций вида
, а также других громоздких функций, допускающих логарифмирование, удобно применить логарифмическую производную.
Определение: Логарифмической производной от функции y = f(х) называется производная от логарифма этой функции:
. Выведем формулу для вычисления производной показательно-степенной функции
или
.
Прологарифмируем обе части равенства, и воспользуемся свойством логарифма
. Получаем:
,
,
.
Продифференцируем обе части равенства и используем правило дифференцирования произведения двух функций:
,
,
, или окончательно получаем формулу
, которую можно использовать для вычисления производной показательно-степенной функции вида
.
Пример 1. Вычислить производные данных функций: 1)
, 2)
.
Решение: 1)
, пусть
и
. Тогда
и
. Подставим эти выражения в полученную формулу
. Получаем
.
2)
, пусть
и
, тогда
и
. Получаем
=
.