Производная сложной функции

Пусть переменная у есть функция от переменной j, т.е. а переменная j в свою очередь есть функция от независимой переменной х, т.е. j = j(х). Тогда говорят, что задана сложная функция у = f(j(x)).

Теорема: Если y = f(j) и j = j(х) дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.

.

Правило дифференцирования сложной функции может быть записано и в других формах: или .

Используя формулы для дифференцирования элементарных функций и правило дифференцирования сложной функции, можно составить ещё одну таблицу производных с учетом сложности функций. Пусть , тогда получаем:

 

Название функции	Производная функции
Степенная	;
Показательная	; ;
Логарифмическая	; ;
Тригонометрические	; ; ; ;
Обратные тригонометрические	; ; ; .

 

Пример 3. Найти производную функции:

1) , 2) , 3) .

Решение: 1) =

.

2) =

=.

3) =

=

=.