Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке


Экстремумы функций.

Лекция 7-8. Возрастание и убывание функций.

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

Определение 1 Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. при выполняется неравенство .

Перечислим признаки возрастания (убывания) функции.

1. Если дифференцируемая функция на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке неотрицательна (неположительная), т.е. .

2. Если непрерывная на отрезке и дифференцируемая внутри него функция имеет положительную (отрицательную) производную, то она возрастает (убывает) на этом отрезке.

Определение 2 Функция называется неубывающей (невозрастающей) в некотором интервале, если для любых из этого интервала выполняется неравенство .

 

Определение 3 Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль, называются стационарными. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.

 

Пример 1. Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) и критические точки функции .

Решение. Данная функция определена при x > 0. Находим ее производную: . Из условия , найдем стационарные точки. . Эти точки разбивают область определения функции на интервалы . В первом из них , а во втором . Это означает, что в интервале (0; 0,5) данная функция убывает, а в интервале (0,5; +¥) – возрастает.

 

Определение 4 Точка х1 называется точкой локального максимума функции , если для любых достаточно малых выполняется неравенство .

 

Определение 5 Точка х2 называется точкой локального минимума функции , если для любых достаточно малых выполняется неравенство .

Определение 6 Точка максимума и минимума называется точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции ее экстремальными значениями.

Теорема 1(необходимый признак локального экстремума)

Если функция имеет в точке х = х0 экстремум, то либо , либо не существует.

Эта теорема имеет следующий геометрический смысл. Если х1, х2 и х3 – точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ох. Эти точки и называются стационарными точками; мы будем называть их точками возможного экстремума.

Если точка х0 – точка возможного экстремума, т.е. , то она может и не быть точкой локального максимума или минимума. Например, если при , но, тем не менее, в точке х = 0 нет локального экстремума. Установим достаточное условие существования локального экстремума.



Теорема 2(первый достаточный признак локального экстремума)

Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х = х0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х0). Если при , а при производная , то при х = х0 функция имеет максимум. Если же при , а при , то при х = х0 данная функция имеет минимум.

 

Схема исследования функции на экстремум с помощью первой производной может быть записана в виде таблицы.

 

Числовые промежутки (-∞; x0) x0 (x0; +∞)
Знаки производной: + -
Поведение функции:

 

 

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. . Из условия , находим критические точки х1 = -1 и х2 = 0 (точка разрыва).

 

Числовые промежутки (-∞; -1) -1 (-1; 0) (0; +∞)
Знаки производной: + - +
Поведение функции: - -

 

Значит точка х = -1 является точкой локального максимума, а точка х = 0 – точка локального минимума.

Теорема 3(второй достаточный признак локального экстремума функции)

Пусть функция дважды дифференцируема и . Тогда в точке х = х0 функция имеет локальный максимум, если , и локальный минимум, если .

В случае, когда , точка х = х0 может и не быть экстремальной.

Пример 3. С помощью второй производной исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Вычисляем значения второй производной в этих точках: , т.е. х1 = 0 – точка минимума; , т.е. х2 = 2 – точка максимума;

.

 

На отрезке функция может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале , либо на концах отрезка .

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Обе эти точки принадлежат интервалу (-2;3). Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезках: у(-1) = 5, у(1) = 1, у(-2) = 1, у(3) = 21. Сравнивая полученные числа, получаем наименьшее значение в точках х1 = 1 и х2 = -2, а наибольшее значение – в точке х3 = 3. Значит .

 

Определение 7 Кривая, заданная функцией , называется выпуклой в интервале (а;b), если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной в этом интервале, и вогнутой в интервале (a;b), если все ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале.

Определение 8 Точка кривой , отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба кривой. Предполагается, что в точке М существует касательная.

 

Теорема 4(достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции)

Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна (положительна), т.е. , то кривая в этом интервале выпукла (вогнута).

В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости, вторая производная функции изменяет свой знак, поэтому в таких точках вторая производная функции или обращается в нуль, или не существует.

 

Теорема 5(достаточный признак точки перегиба)

Если в точке х = х0 или не существует и при переходе через эту точку производная меняет знак, то точка с абсциссой х = х0 кривой - точка перегиба.

 

Пример 5. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой (кривая Гаусса).

Решение. Находим первую и вторую производные:

.

следовательно .

 

Числовые промежутки (-∞; -1) -1 (-1; 0) (0; 1) (1; +∞)
Знаки производной: + + - -
Поведение функции: - -  
Знаки второй производной: +   -   -   +
Поведение функции:          

 

х = -1, х = 1 точки перегиба.

 

 


Лекция 9. Общая схема исследования функций и построение их

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Оценка остаточного члена для произвольной функции | Графиков

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 794; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.008 сек.