![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Экстремумы функций. Лекция 7-8. Возрастание и убывание функций. Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций. Определение 1 Функция Перечислим признаки возрастания (убывания) функции. 1. Если дифференцируемая функция 2. Если непрерывная на отрезке Определение 2 Функция
Определение 3 Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль, называются стационарными. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.
Пример 1. Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) и критические точки функции Решение. Данная функция определена при x > 0. Находим ее производную:
Определение 4 Точка х1 называется точкой локального максимума функции
Определение 5 Точка х2 называется точкой локального минимума функции Определение 6 Точка максимума и минимума называется точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции ее экстремальными значениями. Теорема 1 (необходимый признак локального экстремума) Если функция
Если точка х0 – точка возможного экстремума, т.е. Теорема 2 (первый достаточный признак локального экстремума) Пусть функция
Схема исследования функции
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию Решение.
Значит точка х = -1 является точкой локального максимума, а точка х = 0 – точка локального минимума. Теорема 3 (второй достаточный признак локального экстремума функции) Пусть функция В случае, когда Пример 3. С помощью второй производной исследовать на экстремум функцию Решение. Вычисляем значения второй производной в этих точках:
На отрезке Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции Решение.
Определение 7 Кривая, заданная функцией Определение 8 Точка кривой
Теорема 4 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции) Если во всех точках интервала В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости, вторая производная функции изменяет свой знак, поэтому в таких точках вторая производная функции или обращается в нуль, или не существует.
Теорема 5 (достаточный признак точки перегиба) Если в точке х = х0
Пример 5. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой Решение. Находим первую и вторую производные:
х = -1, х = 1 точки перегиба.
Лекция 9. Общая схема исследования функций и построение их
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 989; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |