Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Графиков


Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:

1) указать область определения функции;

2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3) найти асимптоты графика функции;

4) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции ();

5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

7) произвести необходимые дополнительные вычисления;

8) построить график функции.

 

Определение 1 Прямая L называется асимптотой данной кривой , если расстояние от точки М кривой до прямой L, при удалении точки М в бесконечность, стремится к нулю.

Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у кривых, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые).

Если существуют числа х = хi (i = 1,2,3,...,n), при которых

, т.е. функция имеет бесконечные разрывы, то прямые х = хi называются вертикальными асимптотами кривой .

Если существуют пределы

,

то прямые - наклонные асимптоты кривой (при k = 0 –горизонтальные). При можем прийти к двум значениям для k. Если имеем одно значение для k, то при можем получить два значения для b.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение. , следовательно данная кривая имеет две вертикальные асимптоты х = ±1. Ищем наклонные асимптоты:

 

, .

Таким образом, у данной кривой существует одна наклонная асимптота, уравнение которой .

Пример 2.Провести полное исследование функции и построить её график.

1. О.О.Ф. , т.е. х ¹ 1.

2. Пересечение с осью Ох: у = 0, следовательно решаем уравнение , оно не имеет действительных корней. Значит нет точек пересечения с осью Ох.

Пересечение с осью Оу: х = 0, следовательно, у = -1. Значит точка пересечения с осью Оу – (0;-1).

х = 1 является вертикальной асимптотой, т.к. это точка разрыва и при и при .

3. Найдем наклонные асимптоты: y = kx + b.

, .

Значит, график функции имеет наклонную асимптоту .

 

4. Проверим выполнение равенств .

, как видим ни одно из равенств не выполняется. Значит функция общего вида. Она так же не периодична.

 

5. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:

.

Из условия , находим две точки возможного экстремума: . В таблицу записываем критические точки: . Определяем знаки производной и поведение функции на каждом из полученных интервалов.

 

  (-∞; ) (; 1) (1; ) (; +∞)
+ - - +
- - -

Из схемы видно, что является точкой максимума, а точка минимума.



Найдем значения функции в точках экстремума:

.

 

6. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости графика данной функции, найдем ее вторую производную:

Так как вторая производная в ноль никогда не обращается, то точек перегиба нет. при и при .

 

  (-∞; ) (; 1) (1; ) (; +∞)
+ - - - +
- - -
- - - - + + +
         

 

 

7. Используя полученные данные, строим эскиз графика.

 

 
 

Если необходимо, можно вычислить дополнительные точки для построения более точного эскиза графика функции.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке | Практические задачи на экстремум

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 182; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.006 сек.