Графиков

Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:

1) указать область определения функции;

2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3) найти асимптоты графика функции;

4) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции ();

5) исследовать функцию на монотонность и экстремум;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

7) произвести необходимые дополнительные вычисления;

8) построить график функции.

 

Определение 1 Прямая L называется асимптотой данной кривой , если расстояние от точки М кривой до прямой L, при удалении точки М в бесконечность, стремится к нулю.

Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у кривых, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые).

Если существуют числа х = х_i (i = 1,2,3,...,n), при которых

, т.е. функция имеет бесконечные разрывы, то прямые х = х_i называются вертикальными асимптотами кривой .

Если существуют пределы

,

то прямые - наклонные асимптоты кривой (при k = 0 –горизонтальные). При можем прийти к двум значениям для k. Если имеем одно значение для k, то при можем получить два значения для b.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение. , следовательно данная кривая имеет две вертикальные асимптоты х = ±1. Ищем наклонные асимптоты:

 

, .

Таким образом, у данной кривой существует одна наклонная асимптота, уравнение которой .

Пример 2.Провести полное исследование функции и построить её график.

1. О.О.Ф. , т.е. х ¹ 1.

2. Пересечение с осью Ох: у = 0, следовательно решаем уравнение , оно не имеет действительных корней. Значит нет точек пересечения с осью Ох.

Пересечение с осью Оу: х = 0, следовательно, у = -1. Значит точка пересечения с осью Оу – (0;-1).

х = 1 является вертикальной асимптотой, т.к. это точка разрыва и при и при .

3. Найдем наклонные асимптоты: y = kx + b.

, .

Значит, график функции имеет наклонную асимптоту .

 

4. Проверим выполнение равенств .

, как видим ни одно из равенств не выполняется. Значит функция общего вида. Она так же не периодична.

 

5. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:

.

Из условия , находим две точки возможного экстремума: . В таблицу записываем критические точки: . Определяем знаки производной и поведение функции на каждом из полученных интервалов.

 

	(-∞; )		(; 1)		(1; )		(; +∞)
	+		-		-		+
		-		-		-

Из схемы видно, что является точкой максимума, а точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

.

 

6. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости графика данной функции, найдем ее вторую производную:

Так как вторая производная в ноль никогда не обращается, то точек перегиба нет. при и при .

 

	(-∞; )		(; 1)		(1; )		(; +∞)
	+		-	-	-		+
		-		-		-
	-	-	-	-	+	+	+

 

 

7. Используя полученные данные, строим эскиз графика.

 

Если необходимо, можно вычислить дополнительные точки для построения более точного эскиза графика функции.