Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.
Теорема (о пределе промежуточной функции). Если функция f(x) заключена между двумя функциями φ(х) и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если
,
,
, то
.
Теорема (о пределе монотонной функции). Если функция f(x) монотонна и ограниченна при x<x0 или при x>x0, то существует соответственно её левый предел
или её правый предел
.
Следствие. Ограниченная монотонная последовательность xn,
, имеет предел.