Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема (о пределе промежуточной функции). Если функция f(x) заключена между двумя функциями φ(х) и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

, , , то

.

Теорема (о пределе монотонной функции). Если функция f(x) монотонна и ограниченна при x<x₀ или при x>x₀, то существует соответственно её левый предел или её правый предел .

Следствие. Ограниченная монотонная последовательность x_n, , имеет предел.