Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Сложение гармонических колебаний





Материальная точка может одновременно участвовать в несколь­ких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекто­рию результирующего движения, следует сложить колебания. Наи­более просто выполняется сложение гармонических колебаний. Рас­смотрим две такие задачи.

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. Пусть материальная точка одновременно участву­ет в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Анали­тически такие колебания выражаются следующими уравнениями:

Допустим, что частоты скла­дываемых колебаний одинаковы тогда результи­рующее смещение точки

Выполним такое сложение с по­мощью векторной диаграммы. Изо­бразим положение векторов и в начальный момент времени (рис. 5.9), углы между этими век­торами и осью ОХ равны начальным фазам слагаемых колебаний j01 и j02. Вектор — амплитуда результирующего колебания. Так как и вращаются с одинаковой угловой скоростью, то и сумма их — вектор — будет вращаться с той же угловой скоро­стью, т. е. результирующее движение является гармоническим с круговой частотой

(5.29)

Выразим амплитуду А этого колебания и начальную фазу j1 через заданные значения Применяя теорему косинусов к треугольнику, заштрихованному на рис. 5.9, получаем

Так как –cos b = -cos [p - (j02 - j01)] = cos (j02 - j01), то

(5.30)

Как видно из рис. 5.9, tg j равен отношению проекции на ось OY к проекции на ось ОХ, т. е. Аух. Учитывая, что проек­ция суммы равна сумме проекций, имеем

(5.31)

Таким образом, поставленная задача решена: по формулам (5.30) и (5.31) можно найти амплитуду и начальную фазу резуль­тирующего колебания. Из выражения (5.30) вытекают следую­щие частные случаи:

 

и тогда


т. е. амплитуда результирующего колебания равна сумме ампли­туд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу p (рис. 5.10, а);

тогда

т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амп­литуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу p (рис. 5.10, б). В частности, при A1 = A2 имеем А = О, т. е. колебания нет (рис. 5.10, в). Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колеба­ниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, то точка неподвижна. Если частоты складываемых ко­лебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармо­ническим.

 

Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличают­ся друг от друга:

Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медлен­но изменяющейся амплитудой (ампли­тудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис. 5.11).



Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:

(5.34)

Допустим, что частоты колебаний одинаковы, т. е.тогда

(5.35)

Уравнения (5.35) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значения t, то можно определить координаты х и у, а сово­купность координат и есть траектория. Более наглядно траекторию можно представить в виде зависимости у = f(x), для получения ко­торой следует исключить время из уравнений (5.35).Произведя ма­тематические преобразования, получим уравнение эллипса:

(5.36)

Таким образом, при одновременном участии в двух взаим­но перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 5.12).

Из выражения (5.36)вытекают некоторые частные случаи:

Это каноническая форма уравнения эллипса, соответствующая симметричному расположению его относительно осей координат (рис. 5.13, а).Из (5.37) при А1 = А2 = R (рис. 5.13, б) получаем уравнение окружности радиусом R:

(5.38)



 

 


 

тогда

(5.39)

и после преобразований

(5.40)

Это уравнение прямой линии, в которую вырождается эллипс [рис. 5.14, а соответствует знаку « + » в уравнении (5.40); рис. 5.14, б— знаку «-»].

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит как от соотношения амплитуд А1 и А2, так и от отношения частот w1/w2 и разности начальных фаз j01 - j 02 слагаемых колебаний (рис. 5.15):


 


 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1270; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.