Уравнение механической волны

Механической волной называют механические возмуще­ния, распространяющиеся в пространстве и несущие энер­гию.

Различают два основных вида механических волн: упругие волны (распространение упругих деформаций) и волны на по­верхности жидкости.

Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положе­ния равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с конечной скоростью.

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблю­щейся точки (s), участвующей в волновом процессе, от координа­ты ее равновесного положения и времени. Для волны, распростра­няющейся вдоль направления ОХ, эта зависимость записывается в общем виде:

Если s и х направлены вдоль одной прямой, то волна продоль­ная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Выведем уравнение плоской волны. Пусть волна распространя­ется вдоль оси ОХ (рис. 5.20) без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек одинаковы и равны А. Зададим колебание точки с координатой х = 0 (источник колебаний) уравнением

До точки с некоторой произвольной координатой х возмуще­ние от начала координат дойдет через время t, поэтому колебания этой точки запаздывают:

(5.47)

Так как время и скорость распространения волны связаны за­висимостью то вместо (5.47) получаем

(5.48)

Это и есть уравнение плоской волны, которое позволяет опре­делить смещение любой точки, участвующей в волновом процес­се, в любой момент времени. Аргумент при косинусе j= w (t - x/u) называют фазой волны. Множество точек, имеющих одновремен­но одинаковую фазу, называют фронтом волны. Для рассмот­ренного случая фронтом волны будет плоскость х = const (плос­кость, перпендикулярная оси ОХ), всем точкам которой соответ­ствует одновременно одинаковая фаза. Отсюда и название — плоская волна.

Скорость распространения фиксированной фазы колебаний на­зывают фазовой. Предположим, что Про­дифференцировав это равенство, получим откуда

Следовательно, скорость распространения фиксированной фазы колебаний и есть скорость распространения волны.

Кроме фазовой скорости различают еще групповую скорость, которую вводят тогда, когда реальная волна не может быть пред­ставлена одним гармоническим уравнением (5.48), а является суммой группы синусоидальных волн.

Длиной волны называют расстояние между двумя точка­ми, фазы которых в один и тот же момент времени отлича­ются на 2p. Она равна расстоянию, пройденному волной за пери­од колебания:

(5.49)

Уравнение волны (5.48) — одно из возможных решений общего диф­ференциального уравнения с частными производными, описывающего процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называ­ют волновым. Чтобы иметь представление о волновом уравнении, продифференци­руем (5.48) дважды по времени t и дважды по координате х:.

(5.50)

(5.51)

Сравнивая вторые производные в (5.50) и (5.51), получаем одномерное волновое уравнение

(5.52)

Решение уравнений с частными производными выходит за пределы данного курса. Одно из решений (5.48) известно. Однако важно отметить следующее. Если изменение какой-либо физической величины: механи­ческой, тепловой, электрической, магнитной и т. д. — отвечает уравне­нию (5.52), то это означает, что соответствующая физическая величина распространяется в виде волны со скоростью u.

Дата добавления: 2014-01-03