Какая функция называется рациональной?

Из какой теоремы следуют эти свойства (ответ: свойства предела функции в точке).

Пример:

Исследуйте функцию на непрерывность.

D(y) = (– ; 2) U (2; 3) U (3; + ? ).

Ранее, при вычислении пределов нами было установлено, что если рациональная функция имеет значение при х = а (т.е. подстановка х = а не приводит к делению на 0), то предел этой функции равен ее значению в точке а.

Вывод: рациональная функция непрерывна при всех значениях х, для которых она имеет числовое значение.

 

Рассмотрим функцию y = [x]. Например, в точке х = 1 функция терпит разрыв. Это – точка разрыва 1-го рода.

Определение.Точка х0 называется точкой разрыва 1-го рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но неравные друг другу правый и левый пределы.

Вернемся к чертежу № 2 в тетради. х ₀ = – 3 – точка устранимого разрыва функции f(x).

Определение.Точка х 0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если существует предел функции f(x) при х, стремящемся к х0, но f(x) неопределена в точке х0 или предел функции f(x) при х, стремящемся к х0 не равен значению f(x0).

Этот разрыв можно устранить, изменив значение функции только в одной точке, не меняя остальные, т.е. доопределить значение функции

Определение.Точка х 0 называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция имеет по крайней мере один из односторонних пределов, или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.