Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Непрерывность функции в точке


Лекция № 4

Тема: «Непрерывность функции»

1.Непрерывность функции в точке 2. Классификация точек разрыва. 3. Действия над непрерывными функциями. 4. Теорема о непрерывности сложной функции 5. Свойства функций, непрерывных на отрезке  

 

Понятие непрерывности является одним из основных понятий математического анализа.

 

 

 

 

 

Сигнал – непрерывный, случайный процесс. Говоря о непрерывности, мы представляем себе плавную, нигде не прерывающуюся кривую. При рассмотрении графика мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точкой .

О.1.1 Функция называется непрерывной в точке , если предел функции приравен значению функции в этой точке, т.е.

(1)

Так как , то соотношение можно записать в виде ,

т.е. для непрерывной функции можно представить знак функции и знак предела.

Приведем равносильное определение непрерывности функции на языке «».

О.1.2 Функция называется непрерывной в точке , если для любого , существует , что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . .

Если , то функцию называют непрерывной в точке справа (слева).

Если функция непрерывна в точке слева и справа, то она непрерывна в этой точке. Действительно, в силу теоремы (л.2 «Предел функции в точке») о необходимом и достаточном условии существования предела функции в точке. (Для того чтобы существовал предел функции в точке, необходимо и достаточно существование обоих односторонних пределов функции в точке и их равенство). Предел функции в точке равен значению ее в этой точке.

Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое является перефразировкой первого определения. Перенесем в равенстве (1) в левую часть и внесем под знак предела (теорема о пределах). Так как равночисленно , то получим:

(2)

Разность , т.е. разность двух значений аргумента, называется приращением аргумента в точке и обозначается , а разность - двух значений функции, называется приращением функции в точке и обозначается . Тогда

При фиксированной точке , является функцией от аргумента , т.е.

Геометрический смысл ясен из рисунка. Равенство (2) в новых обозначениях примет вид:

Соотношение (4) и дает нам еще одно определение непрерывной функции.

О.1.3 Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Оно удобно для практического использования.

Пример: доказать, что - непрерывная функция на всей области определения .



Для доказательства возьмем некоторую точку , дадим приращение , тогда новое значение аргумента а значение функции .

Найдем приращение функции.

.

Используем предельный переход и четвертый замечательный предел

бесконечно малое при .

Функция непрерывна в точке , но точка - произвольная точка .

О.1.4 Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

На основании всего сказанного выше, дадим строгое определение непрерывности функции (необходимое и достаточное условия непрерывной функции в точке).

О.1.5 Функция называется непрерывной в точке , если

1 ) функция определена в этой точке и некоторой ее окрестности т.е. (внутренняя точка).

2)

3)

Оказывается, что не для любой функции выполняются условия О.1.5. В этом случае говорят о том, что функция терпит разрыв.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Решение. Почему для Х1 и Х2 указаны ограничения на то, чтобы они были больше 1? | Разрывы I рода

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 253; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.