Метод Эйлера

Метод Эйлера относится к численным методам,дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции y(x). Рассмотрим дифференциальное уравнение y ^' = f (x, y) с начальным условием y (x ₀) = y ₀. Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек x_i = x ₀ + ih (i = 0,1,2,...). В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формулам y_{i + 1} = y_i + hf (x_i, y_i)(i = 0,1,2,...). При этом искомая интегральная кривая y=y(x), проходящая через точку M ₀(x ₀, y ₀), заменяется ломанной M ₀ M ₁ M ₂... с вершинами ; каждое звено M_iM_{i + 1} этой ломанной, называемой ломанной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения, которая проходит через точку M_i.

Если правая часть уравения в некотором прямоугольнике удовлетворяет условиям , , то имеет место следующая оценка погрешности:, где y (x_n)-значение точного решения уравнения при x = x_n,, а y_n - приближенное значение, полученное на n-м шаге.

На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения (при шаге h/2) оценивают приближенно так: .

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка

с начальными условиями y (x ₀) = y ₀, z (x ₀) = z ₀.

Приближенными значения и вычисляются последовательно по формулам

Дата добавления: 2014-01-03