Метод последовательных приближений

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка y ^' = f (x, y) с начальным условием y (x ₀) = y ₀.

Метод последовательных приближений состоит в том, что решение y(x) получают как педел последовательности функций y_n (x), которые находятся по рекуррентной формуле . Доказано, что если правая часть f(x,y) в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условию Липшица по y: , то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения y_n (x) сходятся на некотором отрезке [ x ₀, x ₀ + h ] к решению задачи. Если f(x,y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка погрешности приближенного решения y_n (x) на отрезке [ x ₀, x ₀ + h ] дается неравенством , где , а число h определяется из условия . В качестве начального приближения y ₀(x) можно взять любую функцию, достаточно близкую к точному решению. Иногда, например, выгодно в качестве y ₀(x) брать приближенное решение уравнения, полученное в виде частичной суммы степенного ряда.

Дата добавления: 2014-01-03