Метод последовательного дифференцирования

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Рассмотрим уравнение y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y^',...,y^{(n − 1)}) с начальными условиями .Предположим, что искомое частное решение y=y(x) может быть разложено в ряд Тейлора по степеням разности x − x₀: . Начальные условия непосредственно дают нам значения y^(k)(x₀) при k=0,1,2,...,n-1. Значение y⁽ⁿ⁾(x₀) найдем из уравнения , подставляя x = x₀ и используя начальные условия . Значения y^{(n + 1)}(x₀),y^{(n + 2)}(x₀),... последовательно определяются дифференцированием уравнения и подстановкой x = x₀,. Доказано, что если правая часть уравнения в окрестности точки (x,y,y^',...,y^{(n − 1)}) , есть аналитическая функция своих аргументов, то при значениях x , достаточно близких к x₀ , существует единственное решение задачи Коши, которое разлагается в ряд Тейлора. Тогда частичная сумма этого ряда будет приближенным решением поставленной задачи.

Аналогично применяется метод последовательного дифференцирования и для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.