Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод рекомендуется применять при решении линейных дифференциальных уравнений (с переменными коэффициентами). Суть метода будет показана на примере уравнения второго порядка y ^'' + p (x) y ^' + q (x) y = r (x) с начальными условиями . Предположим, что каждый их коэффициентов уравнения можно разложить в ряд по степеням х: . Решение данного уравнения будем искать в виде ряда , где c_n - коэффициенты, подлежащие определению. Дифференцируем обе части равенства два раза по х: . Подставляя полученные ряды для y, y ^', y ^'', p, q, r в уравнение, получим .

Произведя умножение рядов и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и в правой частях тождества, получим систему

где L (c_{n + 1}, c_n,..., c ₁, c ₀) означает линейную функцию аргументов c ₀, c ₁,..., c_n, c_{n + 1}.

Каждое уравнение системы содержит на одно неизвестное больше по сравнению с предыдущем уравнением. Коэффициенты c ₀, c ₁ определяются из начальных условий, а все остальные последовательно определяются из системы.

Дата добавления: 2014-01-03