Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод рекомендуется применять при решении линейных дифференциальных уравнений (с переменными коэффициентами). Суть метода будет показана на примере уравнения второго порядка y^'' + p(x)y^' + q(x)y = r(x) с начальными условиями . Предположим, что каждый их коэффициентов уравнения можно разложить в ряд по степеням х: . Решение данного уравнения будем искать в виде ряда , где c_n- коэффициенты, подлежащие определению. Дифференцируем обе части равенства два раза по х: . Подставляя полученные ряды для y,y^',y^'',p,q,r в уравнение , получим .

Произведя умножение рядов и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и в правой частях тождества , получим систему

где L(c_{n + 1},c_n,...,c₁,c₀) означает линейную функцию аргументов c₀,c₁,...,c_n,c_{n + 1}.

Каждое уравнение системы содержит на одно неизвестное больше по сравнению с предыдущем уравнением. Коэффициенты c₀,c₁ определяются из начальных условий, а все остальные последовательно определяются из системы.