Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Пусть x ₀ = a, x_n = b, x_i = x ₀ + ih (i = 1,2,..., n − 1) - система равноотстоящих узлов с некоторым шагом и p_i = p (x_i), q_i = q (x_i), f_i = f (x_i). Обозначим получаемые в результате расчета приближенные значения искомой функции y(x) и ее производных y ^'(x), y ^''(x) в узлах x_i через соответственно. Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные y ^'(x_i), y ^''(x_i) конечно-разностными отношениями , а на концах положим . Используя эти формулы, приближенно заменим уравнение y ^'' + p (x) y ^' + q (x) y = f (x) и краевые условия системой уравнений

.

Получим линейную алгебраическую систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными. Решив ее, если это возможно, получим таблицу приближенных значений искомой функции.

Более точные формулы получаются, если заменить y ^'(x_i), y ^''(x_i) центрально-разностными отношениями . Тогда получим систему

.

Оценка погрешности метода конечных разностей имеет вид ,где y (x_i)-значение точного решения при x = x_i, M ₄ = max_{[ a, b ]} | y ⁽⁴⁾(x) |.

В практических задачах часто встречаются уравнения, в которых функции p(x),q(x),f(x) заданы таблично с некоторым шагом h. Совершенно естественно такие уравнения решать разностным методом с данным шагом h.

Дата добавления: 2014-01-03