Плоская гармоническая волна в диэлектрике

Плоской называется электромагнитная волна с плоским фронтом, у кото­рой векторы поля и взаимно перпендикулярны и при соответствую­щем выборе направления осей координат будут зависеть только от одной про­стран­ственной координаты z и времени t.

Волна называется гармонической, если век­торы поля и изменяются во времени по синусоидальному за­кону.

Волна распространяется в однородном диэлектрике (ε), прово­димость которого равна нулю ().Выберем направления осей координат x, y, z так, чтобы вектор совпа­дал с осью x, вектор совпадал с осью y, тогда вектор Пой­тинга будет направлен вдоль оси z.

Система уравнений Максвелла в комплексной форме:

Раскроем операцию rot в декартовой системе координат и учтем, что

векторы поля содержат только по одной пространственной составляющей:,:

.

.

Таким образом, система уравнений Максвелла получит вид:

(1)   (2)

Решим данную систему дифференциальных уравнений относительно одной из пере­менных, например,. Для этой цели продифференцируем уравнение (2) по пе­ременной z и выполним в него подстановку из уравне­ния (1):

,

где - фазовая скорость волны.

Таким образом,

Решение для искомой функции:

где - корни характеристического уравнения.

- волновое сопротивление.

Решение содержит электромагнитные волны:

прямую - H_ymφ; E_xmψ=Z_B H_ymφ; обратную - H_ymψ; E_xmψ=Z_B H_ymψ;

В неограниченной однородной среде отраженные волны отсутствуют, поэтому при­мем С ₂=0, С ₁= Сe^jy, тогда решение для искомой функции получит окончательный вид:

где.

Решение для переменной получим из уравнения (2) путем подстановки в него найденного решения для переменной:

,

где - волновое сопротивление среды;

для пустоты Ом.

Перейдем от комплексного изображения функций к их оригиналам:

Таким образом, электромагнитное поле в диэлектрике распространяется в виде незату­хающих взаимно перпендикулярных в пространстве волн и со скоростью.

Отношение мгновенных значений волн в любой точке простран­ства и в любой момент времени постоянно и равно волновому сопротивлению.

Длиной волны λ называют расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2π:

откуда следует, что

Каждая из волн переносит энергию в направлении своего движения, при этом объемные плотности энергий электрического и магнитного полей равны между собой.

Дата добавления: 2014-01-03