Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса


Рассмотрим систему вида:

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных и в приведении системы к ступенчатому виду путём элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями системы называют преобразования вида:

- перестановка местами любых двух уравнений системы;

- умножение обеих частей уравнения на число, отличное от нуля;

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

В результате элементарных преобразований получается система, эквивалентная исходной. Если при проведении элементарных преобразований получается уравнение вида , то такое уравнение вычёркивается из системы. Если получается уравнение вида , где , то система несовместна.

Переход от исходной системы (1) к равносильной системе ступенчатого вида называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы ступенчатого вида – обратным ходом.

Прямой ход

В системе среди коэффициентов при неизвестном x1 найдётся хотя бы один не равный нулю. Уравнение с этим коэффициентом записывается первым. – ведущий коэффициент для первого уравнения. Разделим первое уравнение системы на a11, получим: , где

Проведём первый шаг преобразований, который заключается в исключении неизвестной x1 из 2-го, 3-го… уравнений системы. Для этого будем умножать уравнение (4) на числа –a21, –a31…–am1 и складывать соответственно со 2-м, 3-м,…, m-м уравнениями системы (1).

В результате получим систему: .

Второй шаг преобразований.

Предположим – ведущий коэффициент 2-го уравнения системы (5). Разделим обе части 2-го уравнения системы (5) на , полученное уравнение , где С помощью уравнения (6) исключим неизвестную x2 из 3-го, 4-го, …, m-го уравнений системы (5). Для этого умножим обе части уравнения (6) на числа и сложим соответственно с 3-м, 4-м, …, m-м уравнениями системы.

В результате получим систему: .

После конечного числа таких шагов возможны варианты.

1) Получена система треугольного вида:

которая совместна и определенна. Она имеет единственное решение, которое находится обратным ходом.

 

2) Получена система трапецеидального вида. Тогда выбираются базисные неизвестные , которые выражаются через свободные неизвестные , и записывается общее решение системы. В этом случае система имеет бесконечное множество решений в зависимости от значений свободных неизвестных.

 

3) Система несовместна, если она содержит уравнение вида , .

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение

 

 

Ответ:

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом | Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 503; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.021 сек.