Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом

Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера

Формулы Крамера удобно применять при решении систем n линейных уравнений с n неизвестными при

Для системы (2) введём дополнительные понятия.

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным.

Определитель, получаемый из главного определителя заменой к -го столбца столбцом свободных членов, называется вспомогательным (к =1,2,… n).

Теорема. Если главный определитель системы (2) не равен нулю, то система (2) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

Замечания.

1. Если в системе (2), а хотя бы один из вспомогательных определителей, то система (2) несовместна.

2. Если и все вспомогательные определители, то система имеет бесконечное множество решений (в этом случае необходимо дополнительное исследование) или несовместна.

Пример: Решить систему уравнений, пользуясь формулами Крамера.

Рассмотрим систему уравнений (2). Составим матрицу коэффициентов при неизвестных, матрицу-столбец из неизвестных и матрицу-столбец свободных членов:

Система (2) примет вид матричного уравнения.

Пусть обратная матрица A ^-1. Умножив обе части уравнения (3) на A ^-1 слева, получим решение уравнения (3):

Замечание.

Рассмотрим решение матричных уравнений иного вида.

Если тогда система решается другим способом.

Пример. Решить матричное уравнение

Решение

1)

.

Ответ:

Дата добавления: 2014-01-03