Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные понятия

7.

Лекция 2. Системы линейных уравнений и их решение

2.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные понятия

2.2. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера

2.3. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом

2.4. Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса

2.5. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

2.6. Однородные системы

Определение. Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные в первой степени и не содержит произведения неизвестных.

Определение. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

,

где x₁, x₂ … x_n – неизвестные; - коэффициенты,,, - свободные члены.

Определение. Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность n действительных чисел (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾… x_n⁽⁰⁾), при подстановке которых в систему каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Определение. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; и несовместной, если она не имеет решений.

Все совместные системы делятся на два вида: определённые и неопределённые.

Определение. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение; и неопределённой, если она имеем более одного решения.

Определение. Система называется квадратной, если.

Определение. Система (1) называется однородной, если все, и неоднородной, если хотя бы одно.

Рассмотрим однородную систему n x n:

.

Однородная система всегда совместна, так как имеет тривиальное решение:. Также система (2) может иметь ненулевые решения.

Теорема 1. Для того чтобы система (2) имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель этой системы был отличен от нуля.

Теорема 2. Для того чтобы система (2) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель этой системы был равен нулю.

Дата добавления: 2014-01-03