Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами

1.

Лекция 1. Матрицы и определители n-го порядка.

1.1. Матрицы, их виды, линейные операции над матрицами

1.2. Умножение матриц

1.3. Определители n-го порядка и их основные свойства

1.4. Обратная матрица

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов.

Числа m и n определяют размер матрицы, который записывается m x n. Для сокращения записи матрицы используются заглавные буквы.

Пример:

Решение

В общем виде записывается: или A = (a _ij), где числа a _ij – элементы матрицы, причём и - индексы строки и столбца соответственно.

Виды матриц

1. Прямоугольная матрица, если.

2. Квадратная матрица, если. Число n называется порядком квадратной матрицы.

3. Матрица размера 1x n называется матрицей-строкой.

4. Матрица размера m x1 называется матрицей-столбцом.

5. Квадратная матрица, у которой элементы с разными индексами равны 0 (a _ij = 0 при), а с одинаковыми индексами равны 1 (a _ij = 1 при i = j), называется единичной матрицей и обозначается E.

6. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

7. Матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.

8. Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы с разными индексами a _ij = 0 при.

9. Скалярной матрицей называется диагональная матрица, у которой диагональные элементы равны одному и тому же числу.

Линейные операции над матрицами

1. Суммой матриц A и B называется матрица C, каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц A и B, то есть

Например:

Складываются матрицы одного размера!

2. При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число, то есть

Например:

Свойства операции сложения матриц

1. А+В=В+А

2. (А+В)+С=А+(В+С)

3. k(А+В)=kА+kВ

Если строки матрицы А поменять местами со столбцами, причём каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то полученная матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается A^T, то есть для матрицы

транспонированная матрица. Операция перехода от A к A^T называется транспонированием.

Дата добавления: 2014-01-03