Обратная матрица

Введём несколько необходимых понятий. Пусть

- квадратная матрица n -го порядка.

Определение. Матрица A называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю; и невырожденной, если определитель этой матрицы не равен нулю.

Составим матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы А:,

где A _ij – алгебраическое дополнение элемента a _ij матрицы A.

Определение. Союзной или присоединённой матрицей A ^* матрицы A называется транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы A, то есть.

Определение. Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице A, если выполняется равенство, где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица A.

Теорема. Если матрица A невырожденная, то она имеет обратную матрицу и притом только одну.

Доказательство. Покажем, что выражение играет роль обратной матрицы. Так как по условию (A – невырожденная матрица), то получим:

,.

Аналогично доказывается, что. Покажем единственность обратной матрицы.

Пусть у матрицы A существуют две обратные матрицы B и C такие, что, тогда

.

Теорема доказана.

Свойства обратной матрицы

Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Находим определитель матрицы А. Если detА=0, то матрица А -вырожденная и обратной матрицы не существует. Если detА 0, то матрица А- невырожденная и обратная матрица существует.

2. Нахстодим матрицу алгебраических дополнений матрицы А.

3. Находим союзную матрицу, транспонируя матрицу алгебраических

дополнений.

4. Вычисляем обратную матрицу.

5. Делаем проверку правильности вычисления обратной матрицы:.

Дата добавления: 2014-01-03