Прямая в пространстве

Рассмотрим прямую l с принадлежащей ей точкой M₀(x₀,y₀,z₀).

Определение. Всякий ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой.

Положение прямой в пространстве R³ однозначно определяется принадлежащей ей точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и направляющим вектором.

Рассмотрим различные виды уравнений прямой.

1) Пусть M(x,y,z) – текущая точка прямой. Тогда вектор

- канонические уравнения прямой.

2) Обозначим тогда

и - параметрические уравнения прямой в пространстве.

3) Пусть даны две точки M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂) прямой, Так как, то вектор можно взять за направляющий и, воспользовавшись каноническими уравнениями прямой, получим:

– уравнение прямой, проходящей через две точки.

4) Прямую в пространстве можно рассматривать как пару пересекающихся плоскостей, а именно:

система определяет общие уравнения прямой.

Рассмотрим правила перехода от канонических уравнений к общим и наоборот.

Так как

Переход от общих уравнений к каноническим осуществляется таким образом:

1) выражают x через y, исключив z в (1);

2) выражают x через z, исключив y в (1);

3) составляют канонические уравнения.

Пример. Составить канонические уравнения прямой

Решение

1. Сложив уравнения системы, получим:

2. Аналогично из системы получим

3. Запишем канонические уравнения прямой. Полученная прямая проходит через точку M(0,-4,-13) и имеет направляющий вектор

Рассмотрим взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть даны две прямые:

Определение. Углом между прямыми l ₁ и l ₂ называется угол между направляющими векторами этих прямых.

Этот угол вычисляется по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности прямых определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности их направляющих векторов.

– необходимое и достаточное условие параллельности прямых;

– необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Дата добавления: 2014-01-03