Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Кривые второго порядка. Основные понятия





Лекция 8. Линии второго порядка и поверхности второго порядка

41.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Рассмотрим взаимное расположение прямых в двух случаях, когда прямые заданы общими уравнениями и уравнениями с угловыми коффициентами.

1) Пусть прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями:

 

Тогда

Если – необходимое и достаточное условие параллельности прямых.

Если необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

2) Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

Определение. Углом между двумя пересекающимися упорядоченными прямыми l1 и l2 называется угол, отсчитываемый от l1 до l2 против движения часовой стрелки.

 

 

Пусть – угол между прямыми l1 и l2, тогда .

Если или - необходимое и достаточное условие параллельности прямых.

Если , но , так как - необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

8.1. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Основные понятия

8.2. Поверхности второго порядка

 

Определение. Линия на плоскости, которая в декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка.

Общее уравнение линий 2-го порядка имеет вид:

Если это уравнение определяет кривую, то это может быть либо окружность, либо эллипс, либо гипербола, либо парабола.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудалённых от фиксированной точки, называемой центром.

Если r – радиус окружности, точка C(a, b) – центр окружности, то уравнение окружности имеет вид:

Если центр совпадает с началом координат, то уравнение окружности имеет вид:

Если в уравнении (2) раскрыть скобки, то получится общее уравнение окружности, которое имеет вид: , причём . Если , то окружность вырождается в точку с координатами . Если , то уравнение определяет мнимую окружность.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, причём 2a>2c, где 2c – расстояние между фокусами.



Для эллипса a>c. Если оси декартовой системы координат выбрать так, что фокусы эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то уравнение эллипса имеет вид:

– каноническое уравнение эллипса.

Точки A и A′, B и B′ называются вершинами эллипса, отрезки OA=a – большая полуось, OB – малая полуось, причём .

Точку пересечения осей называют центром эллипса. Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется эксцентриситетом и , так как a>c. Если a=b, то c=0 и , фокусы сливаются в одну точку – центр и эллипс превращается в окружность.

Если центр эллипса смещён и находится в точке C(x1,y1), a оси симметрии эллипса параллельны осям координат, то уравнение эллипса имеет вид:

.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, причём 2a<2c.

Если оси декартовой системы координат выбрать так, что фокусы гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то уравнение гиперболы имеет вид: – каноническое уравнение гиперболы.

Точки A(a, 0) и A′(-a, 0) – вершины гиперболы, отрезок AA′=2a – действительная ось гиперболы, отрезок BB′ – мнимая ось гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный симметрично

относительно осей гиперболы и касающийся её в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы. Его диагонали принадлежат асимптотам гиперболы, уравнения которых и

Эксцентриситет гиперболы , т.к. a<c. Если a=b, то гипербола является равнобочной. Если уравнение гиперболы имеет вид , то действительной осью этой гиперболы служит отрезок оси оy равный 2b.

Гиперболы и называются сопряжёнными.

Если центр смещён и находится в точке C(x1,y1), a оси симметрии гиперболы параллельны осям координат, то уравнение гиперболы имеет вид:

.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки F, называемой фокусом, и фиксированной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы равно p, p>0 – параметр параболы.

Если ось абсцисс декартовой системы координат проходит через фокус параболы перпендикулярно директрисе и направлена от директрисы к фокусу, то начало координат находится посередине между фокусом и каноническое уравнение параболы имеет вид:

.

Точка – фокус параболы, прямая – директриса параболы, точка пересечения параболы с осью называется её вершиной. Парабола имеет одну ось симметрии.

Если парабола лежит в левой полуплоскости, то её уравнение имеет вид:

.

Её фокус находится в точке и уравнение директрисы .

Если ось параболы совмещена с осью ординат, то парабола имеет уравнение , если лежит в верхней полуплоскости, и , если лежит в нижней полуплоскости.

Уравнения смещённых парабол с вершиной в точке C(x1,y1) имеют вид:

 

Замечание.

Если уравнение определяет кривую второго порядка, то

1) при эта кривая является окружностью;

2) при эта кривая является эллипсом;

3) при эта кривая является гиперболой;

4) при или при эта кривая является параболой.





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1566; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.